Arc spaces and wedge spaces for toric varieties

[Espaces d’arcs et de coins pour les variétés toriques]

Reguera, Ana J.¹

¹ Dpto. de Álgebra Análisis Matemático Geometría y Topología Universidad de Valladolid Paseo Belén 7, 47011 Valladolid (Spain)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 5, pp. 2135-2183

Abstract (VO)

Let $X$ be a normal toric variety over a perfect field $k$ and let $X_{\infty }$ be its space of arcs. Let $P$ be a toric stable point of $X_{\infty }$, i.e. defined by a toric divisorial valuation $\nu$. We describe the irreducible components of $\mathrm{Spec}\widehat{{𝒪}_{X_{\infty },P}}$ and their respective dimensions. This description is derived from the existence of a finite family of regular toric varieties such that every wedge centered at $P$ lifts to some of them. As a first consequence, we obtain that, in general, the ring ${𝒪}_{X_{\infty },P}$ is neither analytically irreducible nor catenary. A second consequence is that, when $X$ is $\mathbb{Q}$-Gorenstein, we recover the log discrepancy of $\nu$ from the space of arcs $X_{\infty }$.

Résumé

Soit $X$ une variété torique normale sur un corps parfait $k$ et soit $X_{\infty }$ son espace d’arcs. Soit $P$ un point stable torique de $X_{\infty }$, i.e. défini par une valuation divisorielle torique $\nu$. Nous décrivons les composantes irréductibles de $\mathrm{Spec}\widehat{{𝒪}_{X_{\infty },P}}$ et leur dimension respective. Cette description est déduite de l’existence d’une famille finie de variétés toriques régulières telles que tout coin centré en $P$ se relève à l’une d’elles. Comme première conséquence, nous obtenons que l’anneau ${𝒪}_{X_{\infty },P}$ n’est ni analytiquement irréductible ni caténaire en général. Une deuxième conséquence est que, lorsque $X$ est $\mathbb{Q}$-Gorenstein, nous récupérons la log-discrépance de $\nu$ à partir de l’espace d’arcs $X_{\infty }$.

Détail

Reçu le : 2020-01-04
Révisé le : 2022-03-23
Accepté le : 2022-05-12
Publié le : 2023-10-09

DOI : 10.5802/aif.3568

Classification : 13A18, 14B05, 14M25, 14J17, 32S05
Keywords: Space of arcs, divisorial valuation, toric variety.
Mots-clés : Espace d’arcs, valuation divisorielle, variété torique.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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