Hilbert irreducibility, the Malle conjecture and the Grunwald problem

[Théorème d’irréductibilité de Hilbert, conjecture de Malle et problème de Grunwald]

Motte, François¹

¹ Laboratoire Paul Painlevé Mathématiques Université Lille 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 5, pp. 2099-2134

Abstract (VO)

The central result is a new version of the Hilbert Irreducibility Theorem which provides explicit bounds for the number of specializations of bounded height of two-variable polynomials over number fields $K$. As an application, starting from a regular finite Galois extension $F/K\left(T\right)$ of group $G$, we can count the number of specialized extensions $F_{t_0}/K$ retaining the full Galois group $G$ and that are of bounded discriminant norm $N_{K/\mathbb{Q}}\left(d_{F_{t_0}}\right)$. Consequently, we contribute to the Malle conjecture on the number $N(K,G,y)$ of finite Galois extensions $E$ of some number field $K$, of group $G$ and of discriminant norm $N_{K/\mathbb{Q}}\left(d_E\right)\le y$. For every number field $K$ containing a certain number field $K_0$ (depending on $G$), we establish this lower bound: $N(K,G,y)\ge y^{\alpha \left(G\right)}$ for $y\gg 1$ and some specific exponent $\alpha \left(G\right)$ depending on $G$. We can also prescribe the local behaviour of the specialized extensions at some primes. We deduce new results on the local-global Grunwald problem, in particular for some non-solvable groups.

Résumé

Le résultat central est une nouvelle version du théorème d’irréductibilité de Hilbert qui fournit des bornes explicites pour le nombre de spécialisations de hauteur bornée d’un polynôme à deux variables sur un corps de nombres $K$. Comme application, en démarrant d’une extension galoisienne finie régulière $F/K\left(T\right)$ de groupe $G$, nous pouvons compter le nombre d’extensions spécialisées $F_{t_0}/K$ conservant le groupe $G$ et dont la norme du discriminant de l’extension $N_{K/\mathbb{Q}}\left(d_{F_{t_0}}\right)$ est majorée. En conséquence, nous contribuons à la conjecture de Malle sur le nombre $N(K,G,y)$ d’extensions finies galoisiennes $E$ sur un corps de nombres $K$, de groupe $G$ et de norme de discriminant $N_{K/\mathbb{Q}}\left(d_E\right)\le y$. Pour chaque corps de nombres $K$ contenant un certain corps de nombres $K_0$ (dépendant de $G$), nous établissons cette minoration  : $N(K,G,y)\ge y^{\alpha \left(G\right)}$ pour $y\gg 1$ et pour un exposant spécifique $\alpha \left(G\right)$ dépendant de $G$. Nous pouvons aussi décrire le comportement local des extensions spécialisées en certains premiers. Nous déduisons ainsi de nouveaux résultats sur le problème local-global de Grunwald, en particulier pour certains groupes non résolubles.

Détail

Reçu le : 2021-04-13
Révisé le : 2021-11-18
Accepté le : 2022-02-16
Publié le : 2023-10-09

DOI : 10.5802/aif.3567

Classification : 12E25, 12F12, 11R58, 11R44, 14Gxx, 11Rxx, 12Fxx
Keywords: Galois extensions, Inverse Galois theory, Malle conjecture, Grunwald problem, Algebraic covers, Specialization, Diophantine geometry
Mots-clés : Extensions galoisiennes, Théorie inverse de Galois, Conjecture de Malle, Problème de Grunwald, Revêtements algébriques, Spécialisation, Géométrie diophantienne.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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