Combinatorial structure of Sturmian words and continued fraction expansion of Sturmian numbers

[Structure combinatoire des mots sturmiens et développement en fraction continue des nombres sturmiens]

Bugeaud, Yann^1, 2 ; Laurent, Michel³

¹ IRMA, UMR7501 Université de Strasbourg et CNRS 7, rue René Descartes 67084 Strasbourg (France)
² Institut universitaire de France
³ Aix-Marseille Université CNRS Institut de Mathématiques de Marseille 163 avenue de Luminy, Case 907 13288 Marseille Cedex 9 (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 5, pp. 2029-2078

Abstract (VO)

Let $\theta =[0;a_1,a_2,\cdots ]$ be the continued fraction expansion of an irrational real number $\theta \in (0,1)$. It is well-known that the characteristic Sturmian word of slope $\theta$ is the limit of a sequence of finite words ${\left(M_k\right)}_{k\ge 0}$, with $M_k$ of length $q_k$ (the denominator of the $k$-th convergent to $\theta$) being a suitable concatenation of $a_k$ copies of $M_{k-1}$ and one copy of $M_{k-2}$. Our first result extends this to any Sturmian word $\mathbf{s}$. Let $b\ge 2$ be an integer. Our second result gives the continued fraction expansion of any real number $\xi$ whose $b$-ary expansion is a Sturmian word $\mathbf{s}$ over the alphabet $\{0,b-1\}$. This extends a classical result of Böhmer who considered only the case where $\mathbf{s}$ is characteristic. As a consequence, we obtain a formula for the irrationality exponent of $\xi$ in terms of the slope and the intercept of $\mathbf{s}$.

Résumé

Soit $\theta =[0;a_1,a_2,\cdots ]$ le développement en fraction continue d’un nombre irrationnel $\theta \in (0,1)$ et soit $q_k$ le dénominateur de la $k$-ième réduite de $\theta$. On sait que les préfixes $M_k$ de longueur $q_k$ du mot sturmien caractéristique de pente $\theta$ vérifient la relation de récurrence $M_k=M_{k-1}^{a_k}{M}_{k-2}$ pour tout $k\ge 2$. Nous établissons une relation de concaténation analogue pour les préfixes d’un mot sturmien quelconque $\mathbf{s}$. Soit $b$ un entier $\ge 2$. Nous obtenons en deuxième lieu une formule explicite pour le développement en fraction continue de tout nombre réel $\xi \in (0,1)$ dont la suite des chiffres en base $b$ forme une suite sturmienne $\mathbf{s}$ sur l’alphabet $\{0,b-1\}$. On généralise ainsi un résultat classique de Böhmer qui traitait le cas particulier où $\mathbf{s}$ est une suite sturmienne caractéristique. Nous en déduisons une formule donnant l’exposant d’irrationalité de $\xi$ en fonction de la pente et de l’intercept de $\mathbf{s}$.

Détail

Reçu le : 2021-08-16
Accepté le : 2022-05-12
Publié le : 2023-10-09

DOI : 10.5802/aif.3561

Classification : 11J04, 11J70, 11J81, 68R15
Keywords: Rational approximation, continued fraction, transcendence, Sturmian sequence, combinatorics on words.
Mots-clés : Approximation rationnelle, fraction continue, transcendance, suite sturmienne, combinatoire des mots.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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