On the $3$-colorable subgroup $ℱ$ and maximal subgroups of Thompson’s group $F$

[Le sous-groupe 3-colorable $ℱ$ et les sous-groupes maximaux du groupe de Thompson $F$]

Aiello, Valeriano¹ ; Nagnibeda, Tatiana²

¹ Mathematisches Institut Universität Bern Alpeneggstrasse 22 3012 Bern (Switzerland)
² Section de mathématiques, Université de Genève Rue du Conseil-Général, 7-9 2005 Genève (Swtizerland)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 2, pp. 783-828

Abstract (VO)

In his work on representations of Thompson’s group $F$, Vaughan Jones defined and studied the $3$-colorable subgroup $ℱ$ of $F$. Later, Ren showed that it is isomorphic to the Brown–Thompson group $F_4$. In this paper we continue with the study of the $3$-colorable subgroup and prove that the quasi-regular representation of $F$ associated with the $3$-colorable subgroup is irreducible. We show in addition that the preimage of $ℱ$ under a certain injective endomorphism of $F$ is contained in three (explicit) maximal subgroups of $F$ of infinite index. These subgroups are different from the previously known infinite index maximal subgroups of $F$, namely the parabolic subgroups that fix a point in $(0,1)$, (up to isomorphism) the Jones’ oriented subgroup $\overrightarrow{F}$, and the explicit examples found by Golan.

Résumé

Vaughan Jones a introduit et étudié un sous-groupe $ℱ$ du groupe de Thompson $F$ dit le sous-groupe 3-colorable, apparu naturellement dans son travail sur les représentations unitaires de $F$. Ren a montré que ce sous-groupe est isomorphe au groupe $F_4$ de Brown–Thompson. Ici, nous poursuivons l’étude du sous-groupe 3-colorable et démontrons que la représentation quasi-régulière de $F$ qui lui est associée est irréductible. Nous démontrons de plus que la préimage de $ℱ$ par un certain endomorphisme injectif de $F$ est contenue dans trois sous-groupes maximaux de $F$ que nous construisons explicitement. Ces sous-groupes maximaux sont d’indice infini et sont des nouveaux exemples dans la liste des sous-groupes maximaux d’indice infini connus dans $F$, tels les sous-groupes paraboliques fixant un point de l’intervalle $(0,1)$, le sous-groupe orienté $\overrightarrow{F}$ introduit par Jones, et les exemples construits par Golan.

Détail

Reçu le : 2021-03-14
Révisé le : 2021-12-06
Accepté le : 2022-02-17
Publié le : 2023-05-12

DOI : 10.5802/aif.3555

Classification : 20F65, 20E28, 22D10
Keywords: Thompson groups, Brown–Thompson groups, irreducible unitary representations, Jones representation, infinite index maximal subgroups, stabilizer subgroups, chromatic polynomial, closed subgroups.
Mots-clés : Groupes de Thompson, groupes de Brown–Thompson, représentation unitaire irréductible de groupe, représentations de Jones, sous-groupe maximal d’indice infini, sous-groupe stabilisateur, polynôme chromatique, sous-groupe fermé.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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