Interprétation cristalline de l’isomorphisme de Deligne–Illusie

Huyghe, Christine¹ ; Wach, Nathalie¹

¹ IRMA 7 rue René Descartes 67084 Strasbourg Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 3, pp. 1133-1201

Résumé (VO)

Soit $k$ un corps fini de caractéristique $p>0$, $W\left(k\right)$ l’anneau des vecteurs de Witt de $k$, $X$ un schéma lisse sur $specW\left(k\right)$ de dimension $<p-1$, $X_0$ la fibre spéciale de $X$. En 1987, Deligne et Illusie ont démontré la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham d’une façon purement algébrique, en construisant un quasi-isomorphisme dans la catégorie dérivée entre le complexe de de Rham de $X_0$ et un complexe à différentielles nulles. Concomitamment, Fontaine et Messing ont construit un Frobenius divisé sur les complexes cristallins associés à $X_0$. Nous montrons que ces deux morphismes de catégories dérivées sont compatibles. Comme application de cette compatibilité, nous donnons la structure du $\phi$-module filtré $modp$ et celle du $(\phi ,\Gamma )$-module associé à la courbe de Drinfeld.

Abstract

Let $k$ be a finite field of characteristic $p>0$, $W\left(k\right)$ the ring of Witt vectors of $k$, $X$ a smooth scheme over $specW\left(k\right)$ of dimension $<p-1$ and $X_0$ the special fiber of $X$. In 1987, Deligne and Illusie proved the degeneration of the spectral sequence “de Hodge vers de Rham” in a purely algebraic way, by constructing a quasi-isomorphism at the level of derived categories between the de Rham complex of $X_0$ with a complex with $0$ differentials. Simultaneously Fontaine and Messing constructed a divided Frobenius map on the crystalline complexes associated with $X_0$. We show that both morphisms of derived categories are compatible mod $p>0$. We use this compatibility to compute the filtered $\phi$-module $modp$ and the $(\phi ,\Gamma )$-module $modp$ associated to the Drinfeld Curve.

Détail

Reçu le : 2020-01-22
Révisé le : 2021-01-30
Accepté le : 2021-03-05
Publié le : 2023-05-12

DOI : 10.5802/aif.3545

Classification : 11S23, 14F30, 14F40
Mots-clés : courbe de Drinfeld, cohomologie cristalline, cohomologie de De Rham, module $(\varphi ,\Gamma )$
Keywords: Drinfeld curve, crystalline cohomology, de Rham cohomology, $(\varphi ,\Gamma )$-module.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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