Actions of automorphism groups of free groups on spaces of Jacobi diagrams. I

[Actions des groupes d’automorphismes des groupes libres sur les espaces de diagrammes de Jacobi. I]

Katada, Mai¹

¹ Department of Mathematics Kyoto University Kyoto 606-8502 (Japan)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 4, pp. 1489-1532

Abstract (VO)

We consider an action of the automorphism group $\mathrm{Aut}\left(F_n\right)$ of the free group $F_n$ of rank $n$ on the filtered vector space $A_d\left(n\right)$ of Jacobi diagrams of degree $d$ on $n$ oriented arcs. This action induces on the associated graded vector space of $A_d\left(n\right)$, which is identified with the space $B_d\left(n\right)$ of open Jacobi diagrams, an action of the general linear group $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ and an action of the graded Lie algebra of the IA-automorphism group of $F_n$ associated with its lower central series. We use these actions on $B_d\left(n\right)$ to study the $\mathrm{Aut}\left(F_n\right)$-module structure of $A_d\left(n\right)$. In particular, we consider the case where $d=2$ in detail and give an indecomposable decomposition of $A_2\left(n\right)$. We also construct a polynomial functor $A_d$ of degree $2d$ from the opposite category of the category of finitely generated free groups to the category of filtered vector spaces, which includes the $\mathrm{Aut}\left(F_n\right)$-module structure of $A_d\left(n\right)$ for all $n\ge 0$.

Résumé

Nous considérons une action du groupe d’automorphisme s $\mathrm{Aut}\left(F_n\right)$ du groupe libre $F_n$ de rang $n$ sur l’espace vectoriel filtré $A_d\left(n\right)$ des diagrammes de Jacobi de degré $d$ sur $n$ arcs orientés. Cette action induit sur l’espace vectoriel gradué associé de $A_d\left(n\right)$, qui est identifié à l’espace $B_d\left(n\right)$ des diagrammes de Jacobi ouverts, une action du groupe linéaire général $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ et une action de l’algèbre de Lie graduée du groupe d’automorphismes IA de $F_n$ associée à sa série centrale inférieure. Nous utilisons ces actions sur $B_d\left(n\right)$ pour étudier la structure de $\mathrm{Aut}\left(F_n\right)$-module de $A_d\left(n\right)$. En particulier, nous considérons en détail le cas où $d=2$ et donnons une décomposition indécomposable de $A_2\left(n\right)$. Nous construisons également un foncteur polynomial $A_d$ de degré $2d$ de la catégorie opposée de la catégorie des groupes libres finiment engendrés à la catégorie des espaces vectoriels filtrés, qui inclut la structure de $\mathrm{Aut}\left(F_n\right)$-module de $A_d\left(n\right)$ pour tout $n\ge 0$.

Détail

Reçu le : 2021-09-21
Révisé le : 2021-12-02
Accepté le : 2022-02-17
Publié le : 2023-07-07

DOI : 10.5802/aif.3544

Classification : 20F12, 20F28, 57K16
Keywords: Jacobi diagrams, Automorphism groups of free groups, General linear groups, IA-automorphism groups of free groups.
Mots-clés : Diagrammes de Jacobi, groupes d’automorphisme des groupes libres, groupes linéaires généraux, groupes d’automorphisme IA des groupes libres.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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