Rational approximation of holomorphic maps

[Approximation rationnelle des applications holomorphes]

Bochnak, Jacek¹ ; Kucharz, Wojciech²

¹ Le Pont de l’Étang 8 1323 Romainmôtier (Switzerland)
² Institute of Mathematics Faculty of Mathematics and Computer Science Jagiellonian University Łojasiewicza 6 30-348 Kraków (Poland)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 3, pp. 1115-1131

Abstract (VO)

Let $X$ be a complex nonsingular affine algebraic variety, $K$ a compact holomorphically convex subset of $X$, and $Y$ a homogeneous complex manifold for some complex linear algebraic group. We prove that a holomorphic map $f:K\to Y$ can be uniformly approximated on $K$ by regular maps $K\to Y$ if and only if $f$ is homotopic to a regular map $K\to Y$. However, it may happen that a null homotopic holomorphic map $K\to Y$ does not admit uniform approximation on $K$ by regular maps $X\to Y$. Here, a map $\phi :K\to Y$ is called holomorphic (resp. regular) if there exist an open (resp. a Zariski open) neighborhood $U\subseteq X$ of $K$ and a holomorphic (resp. regular) map $\tilde{\phi }:U\to Y$ such that $\tilde{\phi }{|}_K=\phi$.

Résumé

Soit $X$ une variété algébrique affine non singulière complexe, soit $K$ un sous-ensemble holomorphiquement convexe de $X$, et soit $Y$ une variété algébrique complexe homogène pour un groupe algébrique linéaire complexe. Nous montrons qu’une application holomorphe $f:K\to Y$ peut être uniformément approchée sur $K$ par des applications régulières $K\to Y$ si et seulement si $f$ est homotope à une application régulière $K\to Y$. Cependant, il peut arriver qu’une application holomorphe $K\to Y$ qui est null-homotope n’admette pas d’approximation uniforme par des applications régulières $X\to Y$. Ici, on dit qu’une application $\phi :K\to Y$ est holomorphe (resp. régulière) s’il existe un voisinage ouvert (resp. ouvert de Zariski) $U\subset X$ de $K$ et une application holomorphe (resp. régulière) $\tilde{\phi }:U\to Y$ telle que $\tilde{\phi }{|}_K=\phi$.

Détail

Reçu le : 2020-12-07
Révisé le : 2021-11-22
Accepté le : 2021-12-01
Publié le : 2023-05-12

DOI : 10.5802/aif.3542

Classification : 32Q56, 41A20, 14E05, 14M17
Keywords: Algebraic manifold, holomorphic map, regular map, approximation.
Mots-clés : Variété algébrique, application holomorphe, application régulière, approximation.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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