Separation profile, isoperimetry, growth and compression

[Profil de séparation, isopérimétrie, croissance et compression]

Gournay, Antoine¹ ; Le Coz, Corentin²

¹ Institut für Geometrie, TU Dresden, Zellescher Weg 12-14, 01069 Dresden, Germany
² Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud, CNRS, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 4, pp. 1627-1675

Abstract (VO)

We give lower and upper bounds for the separation profile (introduced by Benjamini, Schramm & Timár) for various graphs using isoperimetric profile, volume growth and Hilbertian compression. For graphs which have polynomial isoperimetry and growth, we show that the separation profile is bounded between $n^a$ and $n^b$ for some $a,b\in (0,1)$. For many amenable groups, we prove a lower bound of $n/log{\left(n\right)}^a$ for some $a>1$, and for groups admitting “good” embeddings into an ${\ell }^p$ space we prove an upper bound of $n/log{\left(n\right)}^b$ for some $b\in (0,1)$. We show that solvable groups of exponential growth cannot have a separation profile bounded above by a sublinear power function. We also introduce a notion of local separation, with applications for percolation clusters of ${\mathbb{Z}}^d$ and graphs which have polynomial isoperimetry and growth.

Résumé

Pour différents types de graphes, nous établissons des bornes inférieures et supérieures sur leur profil de séparation (introduit par Benjamini, Schramm & Timár), en utilisant le profil isopérimétrique, la fonction de croissance et la compression dans les espaces de Hilbert. Dans le cas des graphes de dimension isopérimétrique supérieure à $1$ et à croissance polynomiale, nous montrons que le profil de séparation est compris entre deux fonctions puissance, avec des exposants compris strictement entre 0 et 1. Pour de nombreux groupes moyennables, nous montrons une borne inférieure de la forme $n/log{\left(n\right)}^a$ avec $a>1$ et, pour les groupes ayant des «  bons  » plongements vers un espace ${\ell }^p$ une borne supérieure de la forme $n/log{\left(n\right)}^b$ avec $b$ compris strictement entre 0 et 1. Nous prouvons que le profil de séparation d’un groupe résoluble à croissance exponentielle n’est jamais dominé par une fonction puissance sous-linéaire. Nous introduisons également une notion de séparation locale, avec des applications aux composantes de percolation de ${\mathbb{Z}}^d$ et aux graphes de dimension isopérimétrique supérieure à $1$ et à croissance polynomiale.

Détail

Reçu le : 2020-01-02
Révisé le : 2021-10-25
Accepté le : 2021-12-01
Publié le : 2023-07-07

DOI : 10.5802/aif.3541

Classification : 20F65, 30L05, 05C25
Keywords: Cheeger constants, Coarse geometry, Geometric group theory
Mots-clés : Constantes de Cheeger, géométrie grossière, théorie géométrique des groupes.

Licence : CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits