E-series of character varieties of non-orientable surfaces

[E-série des variétés de caractères des surfaces non-orientées]

Letellier, Emmanuel¹ ; Rodriguez-Villegas, Fernando²

¹ IMJ-PRG, Université Paris Cité (France)
² ICTP Trieste (Italy)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 4, pp. 1385-1420

Abstract (VO)

In this paper we are interested in two kinds of stacks associated to a compact non-orientable surface $\Sigma$. (A) We consider simply the quotient stack of the space of representations of the fundamental group of $\Sigma$ to ${\mathrm{GL}}_n$. (B) We choose a set $S$ of $k$-punctures of $\Sigma$ and a generic $k$-tuple of semisimple conjugacy classes of ${\mathrm{GL}}_n$, and we consider the stack of anti-invariant local systems on the orientation cover of $\Sigma$ with local monodromies around the punctures given by the prescribed conjugacy classes. We compute the number of points of these spaces over finite fields from which we get a formula for their $E$-series (a certain specialization of the mixed Poincaré series). In case (B), unexpectedly (see Remark 1.9), when the Euler characteristic of $\Sigma$ is even, our formulas turn out to be closely related to those arising from the character varieties of punctured compact orientable surfaces studied in [13] and [14].

Résumé

Dans cet article nous nous intéressons à deux types de champs associés à une surface compacte non-orientable $\Sigma$. (A) On considère simplement le champ quotient de l’espace des représentations du groupe fondamental de $\Sigma$ dans ${\mathrm{GL}}_n$. (B) On choisit un ensemble $S$ de $k$ points de $\Sigma$ et un $k$-uplet générique de classes de conjugaison semsimples de ${\mathrm{GL}}_n$ et on considère le champ des systèmes locaux anti-invariants sur le revêtement d’orientation de $\Sigma \setminus S$ avec monodromies locales dans les classes de conjugaison choisies. On calcule le nombre de points de ces champs sur un corps fini et on en déduit une formule pour leur $E$-série (une certaine spécialisation de la série de Poincaré mixte). Dans le cas (B), étonnamment (voir Remarque 1.9), lorsque la caractéristique d’Euler de $\Sigma$ est paire, nos formules sont très proches de celles provenant des variétés de caractères de surfaces compactes orientables épointées étudiées dans [13] et [14].

Détail

Reçu le : 2020-09-14
Révisé le : 2021-06-25
Accepté le : 2021-11-04
Publié le : 2023-07-07

DOI : 10.5802/aif.3540

Classification : 00X99
Keywords: Character varieties, non-orientable surfaces.
Mots-clés : Variétés de caractères, surfaces non-orientées.

Licence : CC-BY-ND 4.0

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