Pentagon representations and complex projective structures on closed surfaces

[Représentations pentagones et structures projectives complexes sur les surfaces fermées]

Le Fils, Thomas¹

¹ Institut de Mathématiques de Jussieu Paris Rive Gauche (IMJ-PRG) 75005 Paris (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 1, pp. 423-445

Abstract (VO)

We define a class of representations of the fundamental group of a closed surface of genus $2$ to ${\mathrm{PSL}}_2\left(ℂ\right)$: the pentagon representations. We show that they are exactly the non-elementary ${\mathrm{PSL}}_2\left(ℂ\right)$-representations of surface groups that do not admit a Schottky decomposition, i.e. a pants decomposition such that the restriction of the representation to each pair of pants is an isomorphism onto a Schottky group. In doing so, we exhibit a gap in the proof of Gallo, Kapovich and Marden that every non-elementary representation of a surface group to ${\mathrm{PSL}}_2\left(ℂ\right)$ is the holonomy of a projective structure, possibly with one branched point of order $2$. We show that pentagon representations arise as such holonomies and repair their proof.

Résumé

Nous définissons une classe de représentations du groupe fondamental d’une surface fermée de genre $2$ dans ${\mathrm{PSL}}_2\left(ℂ\right)$  : les représentations pentagones. Nous montrons que ce sont exactement les représentations d’un groupe de surface dans ${\mathrm{PSL}}_2\left(ℂ\right)$ qui n’admettent pas de décomposition de Schottky, i.e. de décomposition en pantalons telle que la restriction de la représentation à chaque pantalon est un isomorphisme sur un groupe de Schottky. Ce faisant, nous exhibons une lacune dans la preuve de Gallo, Kapovich et Marden du fait que toute représentation non-élémentaire d’un groupe de surface dans ${\mathrm{PSL}}_2\left(ℂ\right)$ est l’holonomie d’une structure projective, avec éventuellement un point de branchement d’ordre $2$. Nous montrons que les représentations pentagones sont de telles holonomies et réparons leur preuve.

Détail

Reçu le : 2019-11-28
Révisé le : 2021-04-29
Accepté le : 2021-07-09
Publié le : 2023-05-12

DOI : 10.5802/aif.3528

Classification : 57M50
Keywords: Projective structure, holonomy, surface groups representations.
Mots-clés : Structure projective, holonomie, représentations de groupes de surfaces.

Licence : CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits