Coincidences of division fields

[Coïncidences des corps de division]

Daniels, Harris B.¹ ; Lozano-Robledo, Álvaro²

¹ Department of Mathematics Amherst College Amherst, MA 01002 (USA)
² Department of Mathematics University of Connecticut Storrs, CT 06269 (USA)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 73 (2023) no. 1, pp. 163-202

Abstract (VO)

Let $E$ be an elliptic curve defined over $\mathbb{Q}$, and let ${\rho }_E:Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to GL(2,\widehat{\mathbb{Z}})$ be the adelic representation associated to the natural action of Galois on the torsion points of $E\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)$. By a theorem of Serre, the image of ${\rho }_E$ is open, but the image is always of index at least $2$ in $GL(2,\widehat{\mathbb{Z}})$ due to a certain quadratic entanglement amongst division fields. In this paper, we study other types of abelian entanglements. More concretely, we classify the elliptic curves $E/\mathbb{Q}$, and primes $p$ and $q$ such that $\mathbb{Q}\left(E\left[p\right]\right)\cap \mathbb{Q}\left({\zeta }_{q^k}\right)$ is non-trivial, and determine the degree of the coincidence. As a consequence, we classify all elliptic curves $E/\mathbb{Q}$ and integers $m,n$ such that the $m$-th and $n$-th division fields coincide, i.e., when $\mathbb{Q}\left(E\right[n\left]\right)=\mathbb{Q}\left(E\right[m\left]\right)$, when the division field is abelian.

Résumé

Soit $E$ une courbe elliptique définie sur $\mathbb{Q}$ et soit ${\rho }_E:Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to GL(2,\widehat{\mathbb{Z}})$ la représentation adélique associée à l’action naturelle de Galois sur les points de torsion de $E\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)$. Par un théorème de Serre, l’image de ${\rho }_E$ est ouverte mais toujours d’indice au moins $2$ dans $GL(2,\widehat{\mathbb{Z}})$ en raison d’un certain enchevêtrement quadratique entre les corps de division. Dans cet article, nous étudions d’autres types d’enchevêtrements abéliens. Plus concrètement, nous classifions les courbes elliptiques $E/\mathbb{Q}$ et les nombres premiers $p$ et $q$ tels que $\mathbb{Q}\left(E\left[p\right]\right)\cap \mathbb{Q}\left({\zeta }_{q^k}\right)$ est non trivial et déterminons le degré de l’intersection. En conséquence, nous classifions toutes les courbes elliptiques $E/\mathbb{Q}$ et les entiers $m,n$ tels que les corps de division $m$-ième et $n$-ième coïncident, c’est-à-dire lorsque $\mathbb{Q}\left(E\right[n\left]\right)=\mathbb{Q}\left(E\right[m\left]\right)$, lorsque ce corps de division est abélien.

Détail

Reçu le : 2019-12-30
Révisé le : 2021-04-12
Accepté le : 2021-06-23
Publié le : 2023-05-12

DOI : 10.5802/aif.3520

Classification : 11G05, 14H52
Keywords: Elliptic Curves, Division Fields, Galois Representations.
Mots-clés : Courbes elliptiques, corps de division, représentations galoisiennes.

Licence : CC-BY-ND 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits