Counting problems for special-orthogonal Anosov representations

[Problèmes de comptage pour les représentations d’Anosov dans le groupe spécial orthogonal]

Carvajales, León^1, 2

¹ Universidad de la República - Facultad de Ciencias Centro de Matemática Iguá 4225, 11400 Montevideo (Uruguay)
² Sorbonne Université - Campus Pierre et Marie Curie Institut de Mathématiques de Jussieu 4, place Jussieu - Boite Courrier 247 75252 Paris Cedex 05 Paris (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 70 (2020) no. 3, pp. 1199-1257

Abstract (VO)

For positive integers $p$ and $q$ let $G:=\mathrm{PSO}(p,q)$ be the projective indefinite special-orthogonal group of signature $(p,q)$. We study counting problems in the Riemannian symmetric space $X_G$ of $G$ and in the pseudo-Riemannian hyperbolic space ${ℍ}^{p,q-1}$. Let $S\subset X_G$ be a totally geodesic copy of $X_{\mathrm{PSO}(p,q-1)}$. We look at the orbit of $S$ under the action of a projective Anosov subgroup of $G$. For certain choices of such a geodesic copy we show that the number of points in this orbit which are at distance at most $t$ from $S$ is finite and asymptotic to a purely exponential function as $t$ goes to infinity. We provide an interpretation of this result in ${ℍ}^{p,q-1}$, as the asymptotics of the amount of space-like geodesic segments of maximum length $t$ in the orbit of a point.

Résumé

Pour des entiers positifs $p$ et $q$ soit $G:=\mathrm{PSO}(p,q)$ le groupe projectif spécial-orthogonal indéfini de signature $(p,q)$. Nous étudions des problèmes de comptage dans l’espace symétrique Riemannien $X_G$ de $G$ et dans l’espace hyperbolique pseudo-Riemannien ${ℍ}^{p,q-1}$. Soit $S\subset X_G$ une copie totalement géodésique de $X_{\mathrm{PSO}(p,q-1)}$. Nous examinons l’orbite de $S$ sous l’action d’un sous-groupe de $G$ de type projectivement Anosov. Pour certains choix d’une telle copie géodésique, nous montrons que le nombre de points dans cette orbite qui se trouvent à une distance maximale $t$ de $S$ est fini et asymptotiquement purement exponentiel lorsque $t$ tend vers l’infini. Nous fournissons une interprétation de ce résultat dans ${ℍ}^{p,q-1}$, comme l’asymptotique de la quantité de segments géodésiques de type espace de longueur maximale $t$ dans l’orbite d’un point.

Détail

Reçu le : 2018-12-05
Révisé le : 2019-09-02
Accepté le : 2019-09-18
Publié le : 2020-12-18

DOI : 10.5802/aif.3333

Classification : 22E40, 53C35
Keywords: Anosov representations, counting, symmetric spaces
Mots-clés : Représentations d’Anosov, comptage, espaces symétriques

Licence : CC-BY-ND 4.0

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