L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions

Harari, David¹ ; Izquierdo, Diego²

¹ Université Paris Sud Mathématiques, Bâtiment 307, 91405 Orsay cedex (France)
² Département de Mathématiques et Applications École Normale Supérieure CNRS, PSL Research University 45, Rue d’Ulm 75005 Paris (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 5, pp. 1915-1954

Résumé (VO)

Soient $k$ un corps de caractéristique 0 et $K$ le corps des fonctions d’une $k$-courbe projective lisse géométriquement intégre $X$. Soit $T$ un $K$-tore. Dans cet article, on cherche à étudier l’espace des points adéliques $T(S,{\mathbf{A}}_K)$ de $T$ hors d’un ensemble fini $S$ de points fermés de $X$. On commence par montrer que le groupe $T\left(K\right)$ des points rationnels de $T$ est toujours fermé discret dans $T(S,{\mathbf{A}}_K)$. On décrit ensuite le quotient $T(\varnothing ,{\mathbf{A}}_K)/T\left(K\right)$ dans chacun des trois cas suivants : $k$ corps algébriquement clos, $k=ℂ\left(\right(t\left)\right)$ et $k$ corps $p$-adique.

Abstract

Let $k$ be a field of characteristic 0 and let $K$ be the function field of a smooth projective geometrically integral $k$-curve $X$. Let $T$ be a $K$-torus. In this article, we aim at studying the space of adelic points $T(S,{\mathbf{A}}_K)$ of $T$ outside a finite set $S$ of closed points of $X$. We start by proving that the group $T\left(K\right)$ of rational points of $T$ is always discrete (hence closed) in $T(S,{\mathbf{A}}_K)$. We then describe the quotient $T(\varnothing ,{\mathbf{A}}_K)/T\left(K\right)$ in each of the following three cases: $k$ is an algebraically closed field, $k$ is the field of Laurent series $ℂ\left(\right(t\left)\right)$, and $k$ is a $p$-adic field.

Détail

Reçu le : 2018-03-05
Révisé le : 2018-06-15
Accepté le : 2018-07-12
Publié le : 2019-09-16

DOI : 10.5802/aif.3286

Classification : 11E72, 12G05, 14G05, 14G27
Mots-clés : Approximation forte, Groupe algébrique linéaire, Sous-groupe divisible maximal, Suite de Poitou–Tate
Keywords: Strong approximation, Linear algebraic group, Maximal divisible subgroup, Poitou–Tate exact sequence

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