Results on the homotopy type of the spaces of locally convex curves on ${𝕊}^3$

[Résultats sur le type d’homotopie des espaces de courbes localement convexes en ${𝕊}^3$]

Alves, Emília¹ ; Saldanha, Nicolau C.¹

¹ Departamento de Matemática, PUC-Rio Rua Marquês de São Vicente 225, Rio de Janeiro, RJ 22451-900 (Brazil)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 69 (2019) no. 3, pp. 1147-1185

Abstract (VO)

A curve $\gamma :[0,1]\to {𝕊}^n$ of class $C^k$ ($k⩾n$) is locally convex if the vectors $\gamma \left(t\right),{\gamma }^{\prime }\left(t\right),{\gamma }^{\prime \prime }\left(t\right),\cdots ,{\gamma }^{\left(n\right)}\left(t\right)$ are a positive basis to ${ℝ}^{n+1}$ for all $t\in [0,1]$. Given an integer $n\ge 2$ and $Q\in {\mathrm{SO}}_{n+1}$, let $ℒ{𝕊}^n\left(Q\right)$ be the set of all locally convex curves $\gamma :[0,1]\to {𝕊}^n$ with fixed initial and final Frenet frame ${ℱ}_{\gamma }\left(0\right)=I$ and ${ℱ}_{\gamma }\left(1\right)=Q$. Saldanha and Shapiro proved that there are just finitely many non-homeomorphic spaces among $ℒ{𝕊}^n\left(Q\right)$ when $Q$ varies in ${\mathrm{SO}}_{n+1}$ (in particular, at most $3$ for $n=3$). For any $n⩾2$, one of these spaces is proved to be homeomorphic to the (well understood) space of generic curves (see below), but very little is known in general about the others. For $n=2$, Saldanha determined the homotopy type of the spaces $ℒ{𝕊}^2\left(Q\right)$. The purpose of this work is to study the case $n=3$. We will obtain information on the homotopy type of one of these two other spaces, allowing us to conclude that none of the connected components of $ℒ{𝕊}^3(-I)$ is homeomorphic to a connected component of the space of generic curves.

Résumé

La courbe $\gamma :[0,1]\to {𝕊}^n$ de classe $C^k$ ($k⩾n$) est localement convexe si les vecteurs $\gamma \left(t\right),{\gamma }^{\prime }\left(t\right),{\gamma }^{\prime \prime }\left(t\right),\cdots ,{\gamma }^{\left(n\right)}\left(t\right)$ forment une base positive de ${ℝ}^{n+1}$ pour chaque $t\in [0,1]$. Pour un entier $n\ge 2$ et $Q\in {\mathrm{SO}}_{n+1}$, soit $ℒ{𝕊}^n\left(Q\right)$ l’ensemble de toutes les courbes localement convexes $\gamma :[0,1]\to {𝕊}^n$ avec repères de Frenet initial et final fixes ${ℱ}_{\gamma }\left(0\right)=I$ et ${ℱ}_{\gamma }\left(1\right)=Q$. Saldanha et Shapiro ont demontré qu’il n’y a qu’un nombre fini d’espaces non-homéomorphes parmi les $ℒ{𝕊}^n\left(Q\right)$ avec $Q\in {\mathrm{SO}}_{n+1}$ (en particulier, au plus $3$ pour $n=3$). Pour $n⩾2$, ils demontrent qu’un de ces espaces est homéomorphe à l’espace (bien compris) des courbes génériques (défini ci-dessous) mais on connaît très peu les autres espaces. Pour $n=2$, Saldanha a déterminé le type d’homotopie des espaces $ℒ{𝕊}^2\left(Q\right)$. Le but de ce travail est d’étudier le cas $n=3$. On obtient des informations sur le type d’homotopie d’un de ces autres deux espaces, ce qui nous permet de déduire qu’aucune des composantes connexes de $ℒ{𝕊}^3(-I)$ n’est homéomorphe à une composante connexe de l’espace des courbes génériques.

Détail

Reçu le : 2017-04-12
Révisé le : 2017-10-16
Accepté le : 2018-02-02
Publié le : 2019-06-03
DOI : 10.5802/aif.3267

Classification : 57N12, 57N35, 57N65
Keywords: Locally convex curves, homotopy type, Bruhat decomposition
Mots-clés : Courbes localement convexes, type d’homotopie, décomposition de Bruhat

Licence : CC-BY-ND 4.0

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