An axiomatic treatment of pairs of elliptic differential equations

Loeb, Peter

Annales de l'Institut Fourier, Tome 16 (1966) no. 2, pp. 167-208

Résumé

Sur un espace localement compact séparé $W$, soit $\mathbf{h}$ une classe de fonctions réelles satisfaisant aux axiomes de Brelot. On suppose que la fonction constante 1 est surharmonique par rapport à $\mathbf{h}$, ce qui implique un principe de maximum pour $\mathbf{h}$. On établit d’abord pour l’espace $W$ un schéma de classification analogue à la classification usuelle des surfaces de Riemann ouvertes en surfaces paraboliques ou hyperboliques. Soit $\mathbf{h}$ une autre classe de fonctions réelles vérifiant les mêmes conditions que $\mathbf{h}$, et l’hypothèse additionnelle que les fonctions positives de $\mathbf{h}$ à domaine dans le complémentaire d’un compact fixe de $W$ sont surharmoniques par rapport à $\mathbf{h}$. On établit diverses relations entre les classes $\mathbf{h}$ et $\mathbf{R}$ ; en particulier si $W$ est hyperbolique par rapport à $\mathbf{h}$, il existe un isomorphisme isométrique de l’espace des fonctions bornées de $\mathbf{R}$ à domaine $W$ dans l’espace des fonctions bornées de $\mathbf{h}$ à domaine $W$ (la métrique étant celle définie par la norme du supremum). Ce travail généralise un travail de H.L. Royden dans lequel $\mathbf{h}$ est la classe des solutions de l’équation $\Delta u=Qu$ sur une surface de Riemann ouverte $W$, $\mathbf{R}$ la classe des solutions de l’équation $\Delta u=Pu$ sur $W$, et $P\ge Q\ge 0$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.240