A.e. convergence of spectral sums on Lie groups

[Convergence p.p. de sommes spectrales sur les groupes de Lie]

Meaney, Christopher¹ ; Müller, Detlef²  ; Prestini, Elena³

¹ Macquarie University Department of Mathematics North Ryde NSW 2109 (Australia)
² C.A.-Universität Kiel Mathematisches Seminar Ludewig-Meyn-Str.4 D-24098 Kiel (Germany)
³ Università di Roma “Tor Vergata" Dipartimento di Matematica Via della Ricerca Scientifica 00133 Roma (Italie)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 5, pp. 1509-1520

Abstract (VO)

Let $ℒ$ be a right-invariant sub-Laplacian on a connected Lie group $G,$ and let $S_{R}f:={\int }_0^{R}d{E}_{\lambda }f,R\ge 0,$ denote the associated “spherical partial sums,” where $ℒ={\int }_0^{\infty }\lambda d{E}_{\lambda }$ is the spectral resolution of $ℒ.$ We prove that $S_{R}f\left(x\right)$ converges a.e. to $f\left(x\right)$ as $R\to \infty$ under the assumption $log(2+ℒ)f\in L^2\left(G\right).$

Résumé

Soit $ℒ$ un sous-Laplacien invariant à droite sur un groupe de Lie $G,$ et soit $S_{R}f:={\int }_0^{R}d{E}_{\lambda }f,R\ge 0,$ l’opérateur “sommes sphériques partielles” associé, où $ℒ={\int }_0^{\infty }\lambda d{E}_{\lambda }$ dénote la résolution spectrale de $ℒ.$ Nous prouvons que $S_{R}f\left(x\right)$ converge vers $f\left(x\right)$ p.p. quand $R\to \infty ,$ si $log(2+ℒ)f\in L^2\left(G\right).$

Détail

DOI : 10.5802/aif.2303

Classification : 22E30, 43A50
Keywords: Rademacher-Menshov theorem, sub-Laplacian, spectral theory
Mots-clés : théorème de Rademacher-Menchov, sous-Laplacien, théorie spectrale