Caractéristiques multiples et bicaractéristiques des systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires et à coefficients constants

Vaillant, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 2, pp. 225-311.

Résumé

Soit $H$ le déterminant de la matrice, supposée carrée, des parties principales. Si $H$ n’est pas nul, soit $H^{\prime }$ un de ses diviseurs irréductibles ; on calcule explicitement les facteurs invariants de cette matrice, considérée comme matrice sur l’anneau localisé de l’anneau des polynômes de dérivation par rapport à l’idéal défini par $H^{\prime }$. Un hyperplan $P$, défini par une forme $\ell$, est caractéristique, tel que : $H^{\prime }\left(\ell \right)=0$ ; $P$ est donc, en général, caractéristique multiple. On démontre l’existence et l’unicité d’une solution analytique, au voisinage de $P$, correspondant à des données de Cauchy compatibles sur $P$ et à des données sur un hyperplan coupant la bicaractéristique de $P$, dont le choix est déterminé par les facteurs invariants. Ce théorème généralise le théorème d’Hadamard-Beudon relatif à un hyperplan caractéristique simple. En termes de physique, on a un résultat généralisant la propagation des ondes classiques.

Détail

DOI : 10.5802/aif.215

Bibliographie

[1] Bourbaki, Groupes et corps ordonnés. Modules sur les anneaux principaux, 1952, Hermann, 94-95.

[2] Bourbaki, Algèbre multilinéaire, 1958, Hermann, Paris, 115.

[3] Bourbaki, Algèbre linéaire, 1955, Hermann, 91-92.

[4] Bourbaki, Modules plats. Localisation, 1961, Hermann, 102-104.

[5] Schwartz, Théorie des distributions, 1957, Hermann, Paris, Tome I, 43-44, 133, 30, 51-58. | Zbl

[6] Schwartz, Méthodes mathématiques pour la physique, 1961, Hermann, Paris, chap. II. | Zbl

[7] Hadamard, Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique, 1903, Hermann, Paris, chapitre II, § 2-3-4, chapitre VII. | JFM

[8] Lichnérowicz, Propagateurs et commutateurs en relativité générale, 1961, Publications mathématiques de l'Institut des hautes études scientifiques, 7-8. | mathdoc-id

[9] Lichnérowicz, Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, 1955, Masson, Paris, Livre II, Chapitre V et VI. | Zbl

[10] Mme Maurer-Tison, Aspects mathématiques de la théorie unitaire du champ d'Einstein, 1959, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 3e série, t. 76, Chapitre V, § 2, Chapitre VI, § 1-2. | Zbl | mathdoc-id

[11, 12] Vaillant, C. R. Acad. Sci., 1961, t. 253, 231-233; 1909-1911. | Zbl

Bourbaki, Polynômes et fractions rationnelles. Corps commutatifs, 1959, Hermann.

E. Cartan, Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques, 1945, Hermann. | Zbl | MR

Y. Choquet-Bruhat, Fluides relativistes de conductibilité infinie, Astronautica Acta, Vol. VI, 1960, Fasc. 6, Vienne, Autriche.

Courant, Note dans Communications on pure and applied mathematics, Tome 8, 1955, 497, U.S.A. | Zbl

Courant et P. D. Lax, Note dans Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol. 42, A, 1956, 872, U.S.A. | Zbl

Guelfand et Chilov, Les distributions, 1962, Dunod. | Zbl | MR

Hadamard, Le Problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques, 1932, Hermann. | Zbl | JFM

Hörmander, Linear partial differential operators, 1963, Berlin, Göttingen. Heidelberg, Allemagne. | Zbl

A. Lax, On the Cauchy's problem for partial differential equations with multiple characteristics, dans Communications on pure and applied mathematics, Vol. 9, n° 2, (1956), 135-169, U.S.A. | Zbl | MR

Lednev, Nouvelle méthode de résolution des équations aux dérivées partielles (en russe), Math. Sbornik N.S., t. 22, 1948, 205-266, U.R.S.S. | Zbl

Leray, Hyperbolic differential equations. Lectures, Institute for Advanced Study, Princeton 1954, U.S.A.

Levi, Caractteristiche multiple e problema di Cauchy. Ann. di mat., ser. 3°, Vol. 16 (1909), 161-201, Italie. | JFM

Lichnérowicz, Théorie globale des connexions et des groupes d'holonomie, 1955, Dunod. | Zbl

Lichnérowicz, Ondes et radiations électromagnétiques et gravitationnelles en relativité générale, Annali di matématica pura ed applicata, Serie IV, tomo L, (1960), Bologna, Italie. | Zbl | MR

Malgrange, Sur les systèmes différentiels à coefficients constants, Séminaire Leray, Collège de France, 1961-1962. | mathdoc-id

Matsumura, Existence locale de solutions pour quelques systèmes d'équations aux dérivées partielles, Japanèse Journal of mathematics, Vol. XXXII, 1962, Japon. | Zbl | MR

M. A. Tonnelat, La théorie du champ unifié d'Einstein et quelques-uns de ses développements, 1955, Gauthier-Villars. | Zbl | MR

Vaillant, C. R. Acad. Sci., 1962, t. 254, 431-433, 1962, t. 255, 628-630 ; 1962, t. 255, 1560-1562.

Vaillant, Sur la structure des équations de la théorie unitaire d'Einstein, Schrödinger, Séminaire Lichnérowicz, Collège de France, 1961-1962.

Zerner, Solutions singulières d'équations aux dérivées partielles, Bulletin de la Société mathématique de France, 91, 1963, 203-226. | Zbl | MR | mathdoc-id