Traces and quasi-traces on the Boutet de Monvel algebra

[Construction des traces et quasi-traces sur l'algèbre de Boutet de Monvel]

Grubb, Gerd¹ ; Schrohe, Elmar 

¹ Copenhagen University, Mathematics Department, Universitetsparken 5, 2100 Copenhagen (Danemark), Institut für Mathematik, Universität Hannover, Welfengarten 1, 30167 Hannover (Allemagne)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 5, pp. 1641-1696.

Abstract (VO)

We construct an analogue of Kontsevich and Vishik’s canonical trace for pseudodifferential boundary value problems in the Boutet de Monvel calculus on compact manifolds with boundary. For an operator $A$ in the calculus (of class zero), and an auxiliary operator $B$, formed of the Dirichlet realization of a strongly elliptic second-order differential operator and an elliptic operator on the boundary, we consider the coefficient $C_0(A,B)$ of ${(-\lambda )}^{-N}$ in the asymptotic expansion of the resolvent trace $\mathrm{Tr}\left(A{(B-\lambda )}^{-N}\right)$ (with $N$ large) in powers and log-powers of $\lambda$. This coefficient identifies with the zero-power coefficient in the Laurent series for the zeta function $\mathrm{Tr}\left(A{B}^{-s}\right)$ at $s=0$, when $B$ is invertible. We show that $C_0(A,B)$ is in general a quasi-trace, in the sense that it vanishes on commutators $[A,A^{\text{'}}]$ modulo local terms, and has a specific value independent of the auxiliary operator, modulo local terms. The local “errors” vanish when $A$ is a singular Green operator of noninteger order, or of integer order with a certain parity; then $C_0(A,B)$ is a trace of $A$. They do not in general vanish when the interior ps.d.o. part of $A$ is nontrivial.

Résumé

On construit une fonctionelle analogue à la trace canonique de Kontsevich et Vishik, pour les problèmes aux limites pseudodifférentielles appartenant au calcul de Boutet de Monvel, sur les variétés compactes à bord. Pour un opérateur $A$ de ce calcul (et de classe zéro), avec un opérateur auxiliaire $B$ formé de la réalisation de Dirichlet d’un opérateur différentiel fortement elliptique du second ordre et d’un opérateur elliptique sur le bord, nous considérons le coefficient $C_0(A,B)$ de ${(-\lambda )}^{-N}$ dans le développement asymptotique de la trace de la résolvante $\mathrm{Tr}\left(A{(B-\lambda )}^{-N}\right)$, avec $N$ grand, dans les puissances et puissances logarithmiques de $\lambda$. Ce coefficient s’identifie au coefficient d’ordre zéro dans la série de Laurent pour la fonction zêta $\mathrm{Tr}\left(A{B}^{-s}\right)$ en $s=0$, quand $B$ est inversible. On montre que $C_0(A,B)$ est en général une quasi-trace, en ce sens qu’elle s’annule sur les commutateurs $[A,A^{\text{'}}]$ modulo des termes locaux, ayant une valeur spécifique indépendante de l’opérateur auxiliaire, modulo des termes locaux. Les «erreurs» locales sont nulles quand $A$ est un opérateur de Green singulier d’ordre non entier, ou d’ordre entier avec une certaine parité ; ainsi $C_0(A,B)$ est une trace sur $A$ dans ces cas. Mais les «erreurs» ne sont en général pas nulles quand la partie intérieure o.ps.d. de $A$ est non-triviale.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2062

Classification : 58J42, 35S15

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