Solutions entières d'un système d'équations aux différences

Bézivin, Jean-Paul ; Gramain, François 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 791-814

Résumé (VO)

En réponse à une question de D.W. Masser, nous démontrons que, pour presque tout système d’équations aux différences

$$\sum _{0\le m\le M}{A}_m\left(z\right)f(z+\alpha m)=\sum _{0\le n\le N}{B}_n\left(z\right)f(z+\beta n)=0,$$

où les $A_m$ et les $B_n$ sont des polynômes non tous nuls et $\alpha ,\beta \in {ℂ}^{*}$ sont $ℝ$-linéairement indépendants, toute solution $f$ qui est une fonction entière est le quotient d’un polynôme exponentiel par un polynôme. Nous avons un résultat semblable quand la deuxième équation est remplacée par une équation différentielle ${\sum }_{0\le n\le N}{B}_n\left(z\right)f^{\left(n\right)}\left(z\right)=0$.

Abstract

In answer to a question of D.W. Masser, we prove that, for almost all systems of difference equations

$$\sum _{0\le m\le M}{A}_m\left(z\right)f(z+\alpha m)=\sum _{0\le n\le N}{B}_n\left(z\right)f(z+\beta n)=0,$$

where $A_m$ and $B_n$ are polynomials and $\alpha ,\beta \in {ℂ}^{*}$ are $ℝ$- linearly independant, any solution $f$ which is an entire function is the quotient of an exponential polynomial by a polynomial. We give a similar result when the second relation is replaced by a differential equation ${\sum }_{0\le n\le N}{B}_n\left(z\right)f^{\left(n\right)}\left(z\right)=0$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1356