Équations aux dérivées partielles inhomogènes à coefficients constants dépendant de paramètres

Trèves, François 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 13 (1963) no. 1, pp. 123-138.

Résumé

On considère un opérateur différentiel linéaire $P(\lambda ,D_x)$ sur ${\mathbf{R}}^n$ dont les coefficients sont constants par rapport au point $x$ de ${\mathbf{R}}^n$ mais sont des fonctions complexes $C^{\infty }$ du point $\lambda$ d’une variété $\Lambda$ qui est $C^{\infty }$. On suppose que ces coefficients ne s’annulent pas simultanément, pour aucune valeur de $\lambda \in \Lambda$. Alors (“Théorème des supports”) si $\nu (x,\lambda )$ est une distribution sur ${\mathbf{R}}^n\times \Lambda$ dont le support se projette sur ${\mathbf{R}}^n$ suivant un compact, si $C$ est un compact convexe de ${\mathbf{R}}^n$ et $F$ un fermé de $\Lambda$,

$$\mathrm{support}P(\lambda ,D_x)\nu (x,\lambda )\subset C\times F\Rightarrow \mathrm{support}\nu (x,\lambda )\subset C\times F.$$

Ce résultat est utilisé pour prouver le “théorème d’existence dans $C^{\infty }$” : soit $\Omega$ un ouvert dans ${\mathbf{R}}^n\times \Lambda$ dont les coupes parallèles à ${\mathbf{R}}^n$ sont convexes ; alors $P(\lambda ,D_x)C_{x,\lambda }^{\infty }\left(\Omega \right)=C_{x,\lambda }^{\infty }\left(\Omega \right)$. D’autres théorèmes d’existence sont établis.

Détail

DOI : 10.5802/aif.134

Bibliographie

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