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One of the main tools used to understand both qualitative and quantitative spectral behaviour of periodic and almost periodic Schrödinger operators is the gauge transform method. In this paper, we extend this method to an abstract setting, thus allowing for greater flexibility in its applications that include, among others, matrix-valued operators. In particular, we obtain asymptotic expansions for the density of states of certain almost periodic systems of elliptic operators, including systems of Dirac type. We also prove that a range of periodic systems including the two-dimensional Dirac operators satisfy the Bethe–Sommerfeld property, that the spectrum contains a semi-axis — or indeed two semi-axes in the case of operators that are not semi-bounded.
La méthode de la transformée de jauge est l’un des principaux outils utilisés pour étudier le comportement spectral des opérateurs de Schrödinger périodiques et presque périodiques, autant d’un point de vue qualitatif que quantitatif. Dans cet article, nous généralisons cette méthode dans un contexte abstrait, nous permettant une plus grande flexibilité dans les applications, entre autres aux matrices d’opérateurs. En particulier, nous obtenons une expansion asymptotique de la densité d’états de certain systèmes d’opérateurs presque périodiques elliptiques, dont des opérateurs de Dirac. Nous démontrons aussi que plusieurs systèmes périodiques, incluant l’opérateur de Dirac bidimensionnel, possèdent la propriété de Bethe–Sommerfeld, comme quoi leur spectre contient un demi-axe, ou même deux demi-axes lorsqu’ils ne sont pas semibornés.
Lagacé, Jean 1 ; Morozov, Sergey 2 ; Parnovski, Leonid 3 ; Pfirsch, Bernhard 3 ; Shterenberg, Roman 4
CC-BY 4.0
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Lagacé, Jean; Morozov, Sergey; Parnovski, Leonid; Pfirsch, Bernhard; Shterenberg, Roman. The almost periodic Gauge Transform: an abstract scheme with applications to Dirac operators. Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 1031-1113. doi: 10.5802/ahl.184
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