Wasserstein contraction and Poincaré inequalities for elliptic diffusions with high diffusivity

[Contraction Wasserstein et inégalité de Poincaré pour des diffusions elliptiques à forte diffusivité.]

Monmarché, Pierre¹

¹ Laboratoire Jacques-Louis Lions, Sorbonne Université, 4 place Jussieu, 75 005 Paris, France

Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 941-973

Abstract (VO)

We consider elliptic diffusion processes on ${ℝ}^d$. Assuming that the drift contracts distances outside a compact set, we prove that, when the diffusion coefficient is sufficiently large, the Markov semi-group associated to the process is a contraction of the ${𝒲}_2$ Wasserstein distance, which implies a Poincaré inequality for its invariant measure. The result doesn’t require neither reversibility nor an explicit expression of the invariant measure, and the estimates have a sharp dependency on the dimension. Some variations of the arguments are then used to study, first, the stability of the invariant measure of the process with respect to its drift and, second, systems of interacting particles, yielding a criterion for dimension-free Poincaré inequalities and quantitative long-time convergence for non-linear McKean–Vlasov type processes.

Résumé

On s’intéresse à des processus de diffusion elliptiques sur ${ℝ}^d$. Sous l’hypothèse que le terme de dérive contracte les distances en-dehors d’un compact, on montre que, pour un coefficient de diffusion suffisamment grand, le semi-groupe de Markov associé au processus est une contraction de la distance de Wasserstein ${𝒲}_2$, ce qui implique une inégalité de Poincaré pour sa mesure invariante. Le résultat ne nécessite ni la réversibilité du processus, ni une expression explicite pour la mesure invariante, et les estimées ont une dépendance correcte en la dimension. Quelques variations du même argument sont également développées pour étudier, en premier lieu, la stabilité de la mesure invariante par rapport à sa dérive et, en second lieu, des systèmes de particules en interaction, fournissant un critère pour une inégalité de Poincaré indépendante de la dimension et une convergence en temps long quantitative pour des processus non-linéaires de type McKean–Vlasov.

Détail

Reçu le : 2022-01-19
Révisé le : 2023-04-06
Accepté le : 2023-07-19
Publié le : 2023-12-12

DOI : 10.5802/ahl.182

Classification : 60J60
Keywords: Wasserstein distance, Poincaré inequality, coupling methods, mean-field interaction, propagation of chaos, McKean–Vlasov processes

Licence : CC-BY 4.0

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