Bounded weak solutions to a class of degenerate cross-diffusion systems

[Solutions faibles bornées pour une classe de systèmes à diffusion croisée dégénérés]

Laurençot, Philippe¹ ; Matioc, Bogdan-Vasile²

¹ Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR 5219, Université de Toulouse, CNRS F–31062 Toulouse Cedex 9, France
² Fakultät für Mathematik, Universität Regensburg D–93040 Regensburg, Deutschland

Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 847-874

Abstract (VO)

Bounded weak solutions are constructed for a degenerate parabolic system with a full diffusion matrix, which is a generalized version of the thin film Muskat system. Boundedness is achieved with the help of a sequence ${\left({ℰ}_n\right)}_{n\ge 2}$ of Liapunov functionals such that ${ℰ}_n$ is equivalent to the $L_n$-norm for each $n\ge 2$ and ${ℰ}_n^{1/n}$ controls the $L_{\infty }$-norm in the limit $n\to \infty$. Weak solutions are built by a compactness approach, special care being needed in the construction of the approximation in order to preserve the availability of the above-mentioned Liapunov functionals.

Résumé

Des solutions faibles bornées sont construites pour un système parabolique dégénéré avec une matrice de diffusion pleine, qui est une version généralisée d’une approximation de type «  film mince » du système de Muskat. Le caractère borné des solutions est obtenu à l’aide d’une suite ${\left({ℰ}_n\right)}_{n\ge 2}$ de fonctionnelles de Liapunov avec les propriétés suivantes  : ${ℰ}_n$ est équivalente à la norme $L_n$ pour chaque $n\ge 2$ et ${ℰ}_n^{1/n}$ contrôle la norme $L_{\infty }$ dans la limite $n\to \infty$. Les solutions faibles sont construites par une méthode de compacité, la construction des approximations requérant une attention particulière afin d’être compatibles avec les fonctionnelles de Liapunov mentionnées ci-dessus.

Détail

Reçu le : 2022-01-17
Révisé le : 2023-06-06
Accepté le : 2023-06-09
Publié le : 2023-10-02

DOI : 10.5802/ahl.179

Classification : 35K65, 35K51, 37L45, 35B65
Keywords: Degenerate parabolic system, cross-diffusion, boundedness, Liapunov functionals, global existence

Licence : CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits