Polynomial growth and subgroups of $\mathrm{Out}\left(F_N\right)$

[Croissance polynomiale et sous-groupes de $\mathrm{Out}\left(F_N\right)$]

Guerch, Yassine¹

¹ Laboratoire de mathématique d’Orsay UMR 8628 CNRS Université Paris-Saclay 91405 ORSAY Cedex, France

Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 595-625

Abstract (VO)

This paper, which is the last of a series of three papers, studies dynamical properties of elements of $\mathrm{Out}\left(F_N\right)$, the outer automorphism group of a nonabelian free group $F_N$. We prove that, for every subgroup $H$ of $\mathrm{Out}\left(F_N\right)$, there exists an element $\varphi \in H$ such that, for every element $g$ of $F_N$, the conjugacy class $\left[g\right]$ has polynomial growth under iteration of $\varphi$ if and only if $\left[g\right]$ has polynomial growth under iteration of every element of $H$.

Résumé

Dans cet article, nous étudions des propriétés dynamiques des éléments de $\mathrm{Out}\left(F_N\right)$, le groupe des automorphismes extérieurs d’un groupe non abélien libre $F_N$ de rang $N\ge 2$. Nous montrons que, pour tout sous-groupe $H$ de $\mathrm{Out}\left(F_N\right)$, il existe un élément $\varphi \in H$, appelé dynamiquement générique, qui capture la croissance polynomiale de $H$ au sens suivant. La classe de conjugaison d’un élément $g\in F_N$ est à croissance polynomiale sous itération de tous les éléments de $H$ si, et seulement si, la classe de conjugaison de $g$ est à croissance polynomiale sous itération de $\varphi$.

Détail

Reçu le : 2022-04-19
Révisé le : 2023-01-06
Accepté le : 2023-03-17
Publié le : 2023-10-02

DOI : 10.5802/ahl.173

Classification : 20E05, 20E08, 20E36, 20F65
Keywords: Nonabelian free groups, outer automorphism groups, space of currents, group actions on trees

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