On the boundary classification of $\Lambda$-Wright–Fisher processes with frequency-dependent selection

[Sur la classification des points frontières des processus de $\Lambda$-Wright–Fisher avec sélection dépendante de la fréquence]

Foucart, Clément¹ ; Zhou, Xiaowen²

¹ Université Sorbonne Paris Nord and Paris 8, Laboratoire Analyse, Géométrie & Applications, UMR 7539. Institut Galilée, 99 avenue J.B. Clément, 93430 Villetaneuse, France
² Department of Mathematics and Statistics, Concordia University, 1455 De Maisonneuve Blvd. W., Montreal, Canada

Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 493-539

Abstract (VO)

We construct extensions of the pure-jump $\Lambda$-Wright–Fisher processes with frequency-dependent selection ($\Lambda$-WF with selection) with different behaviors at their boundary $1$. Those processes satisfy some duality relationships with the block counting process of simple exchangeable fragmentation-coagulation processes (EFC processes). One-to-one correspondences are established between the nature of the boundaries $1$ and $\infty$ of the processes involved. They provide new information on these two classes of processes. Sufficient conditions are provided for boundary $1$ to be an exit boundary or an entrance boundary. When the coalescence measure $\Lambda$ and the selection mechanism verify some regular variation properties, conditions are found in order that the extended $\Lambda$-WF process with selection makes excursions out from the boundary $1$ before getting absorbed at $0$. In this case, $1$ is a transient regular reflecting boundary. This corresponds to a new phenomenon for the deleterious allele, which can be carried by the whole population for a set of times of zero Lebesgue measure, before vanishing in finite time almost surely.

Résumé

Nous construisons des extensions des processus de $\Lambda$-Wright–Fisher de saut pur avec sélection dépendante de la fréquence ($\Lambda$-WF avec sélection) présentant différents comportement en leur point frontière $1$. Ces processus satisfont des relations de dualité avec le processus du nombre de blocs des processus de fragmentation-coagulation échangeables simples. Des correspondances biunivoques entre les natures des frontières $1$ et $\infty$ des processus en question sont établies. Elles fournissent de nouvelles informations sur ces deux classes de processus. Des conditions suffisantes sont données pour que la frontière $1$ soit un point de sortie ou un point d’entrée. Lorsque la mesure $\Lambda$ et la fonction de sélection vérifient des propriétés de variations régulières, des conditions sont trouvées de sorte que le processus de $\Lambda$-WF avec sélection étendu fasse des excursions en dehors de la frontière $1$ avant d’être absorbée en $0$. Dans ce cas, $1$ est un point régulier réfléchissant et transient. Cela correspond à un nouveau phénomène pour l’allèle délétère, qui peut être porté par toute la population pendant un ensemble de temps de mesure de Lebesgue nulle, avant de disparaître en temps fini presque sûrement.

Détail

Reçu le : 2021-01-07
Révisé le : 2021-05-12
Accepté le : 2021-09-14
Publié le : 2023-07-18

DOI : 10.5802/ahl.170

Classification : 60J80, 60J70, 60J90, 92D25
Keywords: $\Lambda $-Wright–Fisher process, selection, $\Lambda $-coalescent, fragmentation-coalescence, duality, explosion, coming down from infinity, entrance boundary, regular boundary, continuous-time Markov chains

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