Fractal Weyl law for the Ruelle spectrum of Anosov flows

[Loi de Weyl fractale pour le spectre de Ruelle des flots Anosov]

Faure, Frédéric¹ ; Tsujii, Masato²

¹ Univ. Grenoble Alpes, CNRS, Institut Fourier, F-38000 Grenoble (France)
² Department of Mathematics, Kyushu University, Moto-oka 744, Nishi-ku, Fukuoka, 819-0395 (Japan)

Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 331-426

Abstract (VO)

On a closed manifold $M$, we consider a smooth vector field $X$ that generates an Anosov flow. Let $V\in C^{\infty }(M;ℝ)$ be a smooth function called potential. It is known that for any $C>0$, there exists some anisotropic Sobolev space ${\mathscr{H}}_C$ such that the operator $A=-X+V$ has intrinsic discrete spectrum on $\mathrm{Re}\left(z\right)>-C$ called Ruelle resonances. In this paper, we show a “Fractal Weyl law”: the density of resonances is bounded by $O\left({\langle \omega \rangle }^{\frac{n}{1+{\beta }_0}}\right)$ where $\omega =\mathrm{Im}\left(z\right)$, $n=dimM-1$ and $0<{\beta }_0\le 1$ is the Hölder exponent of the distribution $E_u\oplus E_s$ (strong stable and unstable). We also obtain some more precise results concerning the wave front set of the resonances and the invertibility of the transfer operator. Since the dynamical distributions $E_u,E_s$ are non smooth, we use some semi-classical analysis based on wave packet transform associated to an adapted metric $g$ on $T^{*}M$ and construct some specific anisotropic Sobolev spaces.

Résumé

Sur une variété fermée $M$, on considère un champ de vecteur lisse $X$ qui génére un flot d’Anosov. Soit $V\in C^{\infty }(M;ℝ)$ une fonction lisse appelée potentiel. Il est connu que pour tout $C>0$, il existe un espace de Sobolev anisotrope ${\mathscr{H}}_C$ tel que l’opérateur $A=-X+V$ a du spectre discret intrinsèque sur $\mathrm{Re}\left(z\right)>-C$ appelé resonances de Ruelle. Dans ce papier, on montre une “loi de Weyl fractale” : la densité de resonances est bornée par $O\left({\langle \omega \rangle }^{\frac{n}{1+{\beta }_0}}\right)$ où $\omega =\mathrm{Im}\left(z\right)$, $n=dimM-1$ et $0<{\beta }_0\le 1$ est l’exposant Hölder de la distribution $E_u\oplus E_s$ (fortement stable et instable). On obtient aussi des résultats plus précis concernant le front d’onde des résonances et l’invertibilité de l’opérateur de transfert. Comme les distributions dynamiques $E_u,E_s$ ne sont pas lisses, nous utilisons une analyse microlocale basée sur la transformée par paquets d’ondes associée à une métrique adaptée $g$ sur $T^{*}M$ et nous construisons des espaces de Sobolev anisotropes spécifiques.

Détail

Reçu le : 2020-02-20
Révisé le : 2022-10-20
Accepté le : 2023-01-30
Publié le : 2023-07-18

DOI : 10.5802/ahl.167

Classification : 37D20, 37D35, 37C30, 81Q20, 81Q50
Keywords: Transfer operator, Ruelle resonances, decay of correlations, Semi-classical analysis

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