Charmenability of higher rank arithmetic groups

[Carmoyennabilité des groupes arithmétiques de rang supérieur]

Bader, Uri¹ ; Boutonnet, Rémi² ; Houdayer, Cyril³

¹ Faculty of Mathematics and Computer Science, The Weizmann Institute of Science, 234 Herzl Street, Rehovot 7610001 (Israel)
² Institut de Mathématiques de Bordeaux, CNRS, Université Bordeaux I, 33405 Talence (France)
³ Université Paris-Saclay, Institut Universitaire de France, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay 91405, Orsay (France)

Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 297-330

Abstract (VO)

We complete the study of characters on higher rank semisimple lattices initiated in [BH21, BBHP22], the missing case being the case of lattices in higher rank simple algebraic groups in arbitrary characteristics. More precisely, we investigate dynamical properties of the conjugation action of such lattices on their space of positive definite functions. Our main results deal with the existence and the classification of characters from which we derive applications to topological dynamics, ergodic theory, unitary representations and operator algebras. Our key theorem is an extension of the noncommutative Nevo–Zimmer structure theorem obtained in [BH21] to the case of simple algebraic groups defined over arbitrary local fields. We also deduce a noncommutative analogue of Margulis’ factor theorem for von Neumann subalgebras of the noncommutative Poisson boundary of higher rank arithmetic groups.

Résumé

Nous complétons l’étude des caractères sur les réseaux semisimples de rang supérieur initiée dans [BH21, BBHP22], le cas manquant étant celui des réseaux dans les groupes algébriques simples en caractéristique quelconque. Plus précisément, nous étudions les propriétés dynamiques de l’action par conjugaison de tels réseaux sur l’espace des fonctions de type positif. Nos résultats principaux concernent l’existence et la classification des caractères desquels nous déduisons des applications en dynamique topologique, théorie ergodique, représentations unitaires et algèbres d’opérateurs. Notre théorème clé est une extension du théorème de structure Nevo–Zimmer noncommutatif obtenu dans [BH21] au cas des groupes algébriques simples définis sur des corps locaux quelconques. Nous déduisons aussi un analogue noncommutatif du théorème du facteur de Margulis pour les sous-algèbres de von Neumann de la frontière de Poisson noncommutative des groupes arithmétiques de rang supérieur.

Détail

Reçu le : 2021-12-17
Révisé le : 2022-12-06
Accepté le : 2023-02-01
Publié le : 2023-07-18

DOI : 10.5802/ahl.166

Classification : 22D10, 22D25, 22E40, 37B05, 46L10, 46L30
Keywords: Arithmetic groups, Characters, Lattices, Poisson boundaries, Simple algebraic groups, von Neumann algebras

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