Central extensions and bounded cohomology

[Extensions centrales et cohomologie bornée]

Frigerio, Roberto¹ ; Sisto, Alessandro²

¹ Dipartimento di Matematica, Università di Pisa (Italy)
² Department of Mathematics, Heriot-Watt University, Edinburgh (UK)

Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 225-258

Abstract (VO)

It was shown by Gersten that a central extension of a finitely generated group is quasi-isometrically trivial provided that its Euler class is bounded. We say that a finitely generated group $G$ satisfies Property QITB (quasi-isometrically trivial implies bounded) if the Euler class of any quasi-isometrically trivial central extension of $G$ is bounded. We exhibit a finitely generated group $G$ which does not satisfy Property QITB. This answers a question by Neumann and Reeves, and provides partial answers to related questions by Wienhard and Blank. We also prove that Property QITB holds for a large class of groups, including amenable groups, right-angled Artin groups, relatively hyperbolic groups with amenable peripheral subgroups, and 3-manifold groups.

Finally, we show that Property QITB holds for every finitely presented group if a conjecture by Gromov on bounded primitives of differential forms holds as well.

Résumé

Gersten a montré qu’une extension centrale d’un groupe de type fini est quasi-isométriquement triviale lorsque sa classe d’Euler est bornée. On dit qu’un groupe $G$ de type fini vérifie la propriété QITB (quasi-isométriquement trivial implique borné) si la classe d’Euler de toute extension centrale quasi-isométriquement triviale de $G$ est bornée. Nous exhibons un groupe de type fini $G$ qui ne satisfait pas la propriété QITB. Cela répond à une question de Neumann et Reeves et fournit des réponses partielles à des questions reliées de Wienhard et Blank. Nous prouvons également que la propriété QITB est satisfaite par une grande classe de groupes, contenant les groupes moyennables, les groupes d’Artin à angle droit, les groupes relativement hyperboliques avec des sous-groupes périphériques moyennables et les groupes de 3-variétés.

Enfin, nous montrons que la propriété QITB est valable pour tout groupe de présentation finie si une conjecture de Gromov sur les primitives bornées de formes différentielles est également valable.

Détail

Reçu le : 2021-07-22
Révisé le : 2022-08-15
Accepté le : 2022-11-04
Publié le : 2023-07-18

DOI : 10.5802/ahl.164

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