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We study the Cauchy problem for the nonlinear wave equations (NLW) with random data and/or stochastic forcing on a two-dimensional compact Riemannian manifold without boundary. (i) We first study the defocusing stochastic damped NLW driven by additive space-time white noise, and with initial data distributed according to the Gibbs measure. By introducing a suitable space-dependent renormalization, we prove local well-posedness of the renormalized equation. Bourgain’s invariant measure argument then allows us to establish almost sure global well-posedness and invariance of the Gibbs measure for the renormalized stochastic damped NLW. (ii) Similarly, we study the random data defocusing NLW (without stochastic forcing or damping), and establish the same results as in the previous setting. (iii) Lastly, we study the stochastic NLW without damping. By introducing a space-time dependent renormalization, we prove its local well-posedness with deterministic initial data in all subcritical spaces.
These results extend the corresponding recent results on the two-dimensional torus obtained by (i) Gubinelli–Koch–Oh–Tolomeo (2021), (ii) Oh–Thomann (2020), and (iii) Gubinelli–Koch–Oh (2018), to a general class of compact manifolds. The main ingredient is the Green’s function estimate for the Laplace–Beltrami operator in this setting to study regularity properties of stochastic terms appearing in each of the problems.
On étudie le problème de Cauchy pour l’équation des ondes non-linéaire (NLW) avec donnée initiale aléatoire et/ou terme source stochastique sur une surface Riemannienne compacte sans bord. (i) On commence par étudier NLW défocalisante amortie en présence d’un terme de bruit blanc espace-temps additif, et avec donnée initiale aléatoire dont la loi est la mesure de Gibbs. En introduisant une renormalisation appropriée, dépendante de la variable d’espace, on montre le caractère localement bien posé de l’équation renormalisée. Un argument dû à Bourgain nous permet d’obtenir le caractère globalement bien posé presque sûr ainsi que l’invariance de la mesure de Gibbs sous le flot de l’équation NLW amortie stochastique. (ii) De même, on étudie le cas NLW défocalisante avec donnée initiale aléatoire (mais sans terme source ni amortissement), et on montre un résultat similaire à celui obtenu dans le cas précédent. (iii) Enfin, on étudie le cas NLW stochastique mais sans amortissement. En introduisant une renormalisation dépendante du temps et de l’espace, on montre le caractère localement bien posé pour toute donnée initiale déterministe de régularité (sous-)critique.
Ces résultats généralisent des travaux récents dans le cas du tore par (i) Gubinelli–Koch–Oh–Tolomeo (2021), (ii) Oh–Thomann (2020), et (iii) Gubinelli–Koch–Oh (2018), en étendant ces résultats au cas d’une surface compacte plus générale. L’ingrédient principale est une estimation sur les puissances de la fonction de Green associée à l’opérateur de Laplace–Beltrami, qui permet d’étudier la régularité des termes stochastiques apparaissant dans ce problème.
Oh, Tadahiro 1 ; Robert, Tristan 2 ; Tzvetkov, Nikolay 3
CC-BY 4.0
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Oh, Tadahiro; Robert, Tristan; Tzvetkov, Nikolay. Stochastic nonlinear wave dynamics on compact surfaces. Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 161-223. doi: 10.5802/ahl.163
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