A McCool Whitehead type theorem for finitely generated subgroups of ${\sf Out}(F_n)$

Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael

doi:10.5802/ahl.159

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A McCool Whitehead type theorem for finitely generated subgroups of

Out (F_{n})

[Un théorème du type McCool Whitehead pour les sous-groupes de type fini de

Out (F_{n})

]

Bestvina, Mladen ¹ ; Feighn, Mark ² ; Handel, Michael ³

¹ Department of Mathematics University of Utah Salt Lake City, UT 84112 (USA)
² Department of Mathematics and Computer Science Rutgers University Newark, NJ 07102 (USA)
³ Department of Mathematics Lehman College Bronx, NY 10468 (USA)

Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 65-94

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Abstract (VO)
Résumé

S. Gersten announced an algorithm that takes as input two finite sequences $\vec{K} = (K_{1}, \dots, K_{N})$ and $\vec{K^{'}} = (K_{1}^{'}, \dots, K_{N}^{'})$ of conjugacy classes of finitely generated subgroups of $F_{n}$ and outputs:

(1) YES or NO depending on whether or not there is an element $θ \in Out (F_{n})$ such that $θ (\vec{K}) = {\vec{K}}^{'}$ together with one such $θ$ if it exists and
(2) a finite presentation for the subgroup of $Out (F_{n})$ fixing $\vec{K}$ .

S. Kalajdžievski published a verification of this algorithm. We present a different algorithm from the point of view of Culler–Vogtmann’s Outer space. New results include that the subgroup of $Out (F_{n})$ fixing $\vec{K}$ is of type $VF$ , an equivariant version of these results, an application, and a unified approach to such questions.

S. Gersten a annoncé un algorithme qui prend en entrée deux suites finies $\vec{K} = (K_{1}, \dots, K_{N})$ et ${\vec{K}}^{'} = (K_{1}^{'}, \dots, K_{N}^{'})$ de classes de conjugaison de sous-groupes de type fini de $F_{n}$ et renvoie :

(1) OUI ou NON selon qu’il existe ou non un élément $θ \in Out (F_{n})$ tel que $θ (\vec{K}) = \vec{K^{'}}$ , avec un tel $θ$ s’il existe et
(2) une présentation finie du sous-groupe de $Out (F_{n})$ fixant $\vec{K}$ .

S. Kalajdžievski a publié une vérification de cet algorithme. Nous présentons un algorithme différent avec le point de vue de l’outre-espace de Culler–Vogtmann. Les nouveaux résultats incluent que le sous-groupe de $Out (F_{n})$ fixant $\vec{K}$ est de type $VF$ , une version équivariante de ces résultats, une application et une approche unifiée de ces questions.

Reçu le : 2020-11-01
Révisé le : 2022-03-10
Accepté le : 2022-09-06
Publié le : 2023-05-16

DOI : 10.5802/ahl.159

Classification : 20F65
Keywords: free group, geometric group theory

Affiliations des auteurs :

Bestvina, Mladen ¹ ; Feighn, Mark ² ; Handel, Michael ³

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael. A McCool Whitehead type theorem for finitely generated subgroups of ${\sf Out}(F_n)$. Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 65-94. doi: 10.5802/ahl.159

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