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Following the 1984 seminal work of Belavin, Polyakov and Zamolodchikov on two-dimensional conformal field theories, Toda conformal field theories were introduced in the physics literature as a family of two-dimensional conformal field theories that enjoy, in addition to conformal symmetry, an extended level of symmetry usually referred to as W-symmetry or higher-spin symmetry. More precisely Toda conformal field theories provide a natural way to associate to a finite-dimensional simple and complex Lie algebra a conformal field theory for which the algebra of symmetry contains the Virasoro algebra. In this document we use the path integral formulation of these models to provide a rigorous mathematical construction of Toda conformal field theories based on probability theory. By doing so we recover expected properties of the theory such as the Weyl anomaly formula with respect to the change of background metric by a conformal factor and the existence of Seiberg bounds for the correlation functions.
En 1984, Belavin, Polyakov et Zamolodchikov publient un article qui posera les fondements de l’étude des théories conformes des champs en dimension deux. Suite à ce travail précurseur les théories conformes des champs de Toda sont introduites dans la littérature physique en tant que théories possédant, au-delà de la symétrie conforme, une symétrie étendue communément appelée symétrie de spin supérieur ou W-symétrie. Ces théories de Toda forment une famille de théories conformes des champs indéxée par les algèbres de Lie complexes, simples et de dimension finie, pour lesquelles l’algèbre de symétrie contient l’algèbre de Virasoro. Par le présent document nous décrivons un cadre probabiliste destiné à donner un sens mathématique rigoureux à ces théories en nous appuyant sur leur définition par intégrale de chemin. Ce faisant, sont retrouvées certaines des propriétés attendues de telles théories, telles l’anomalie de Weyl correspondant à un changement conforme de métrique de fond ainsi que la présence de bornes de Seiberg conditionnant l’existence des fonctions de corrélation.
Cerclé, Baptiste 1 ; Rhodes, Rémi 2 ; Vargas, Vincent 3
CC-BY 4.0
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Cerclé, Baptiste; Rhodes, Rémi; Vargas, Vincent. Probabilistic construction of Toda Conformal Field Theories. Annales Henri Lebesgue, Tome 6 (2023), pp. 31-64. doi: 10.5802/ahl.158
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