Intrinsic volumes of sublevel sets

[Volumes intrinsèques des ensembles de sous-niveau]

Jubin, Benoît¹

¹ Sorbonne Université, Institut de Mathématiques de Jussieu, F-75005 Paris France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 32 (2023) no. 5, pp. 911-938

Abstract (VO)

We establish formulas that give the intrinsic volumes, or curvature measures or Lipschitz–Killing curvatures, of sublevel sets of functions defined on Riemannian manifolds as integrals of functionals of the function and its derivatives up to order 3. For instance, in the Euclidean case, if $f\in {𝒞}^3({ℝ}^n,ℝ)$ and 0 is a regular value of $f$, then the intrinsic volume of degree $n-k$ of the sublevel set $M_f^0:=f^{-1}\left(]-\infty ,0]\right)$, if the latter is compact, is given by

$${ℒ}_{n-k}\left(M_f^0\right)=\frac{\Gamma (k/2)}{2{\pi }^{k/2}(k-1)!}{\int }_{M_f^0}\mathrm{div}\left(\frac{P_{n,k}(\mathrm{Hess}\left(f\right),\nabla f)}{\sqrt{f^{2(3k-2)}+{\parallel \nabla f\parallel }^{2(3k-2)}}}\nabla f\right){\mathrm{vol}}_n$$

for $1\le k\le n$, where the $P_{n,k}$’s are polynomials given in the text.

This includes as special cases the Euler–Poincaré characteristic of sublevel sets and the nodal volumes of functions defined on Riemannian manifolds. Therefore, these formulas give generalizations of the Kac–Rice formula.

Finally, we use these formulas to prove the Lipschitz continuity of the intrinsic volumes of sublevel sets.

Résumé

Nous établissons des formules donnant les volumes intrinsèques, ou mesures de courbure ou courbures de Lipschitz–Killing, des ensembles de sous-niveau de fonctions définies sur des variétés riemanniennes, comme intégrales de fonctionnelles de la fonction et de ses dérivées jusqu’à l’ordre 3. Par exemple, dans le cas euclidien, si $f\in {𝒞}^3({ℝ}^n,ℝ)$ et 0 est une valeur régulière de $f$, alors le volume intrinsèque de degré $n-k$ de l’ensemble de sous-niveau $M_f^0:=f^{-1}\left(]-\infty ,0]\right)$, lorsque ce dernier est compact, est donné par

$${ℒ}_{n-k}\left(M_f^0\right)=\frac{\Gamma (k/2)}{2{\pi }^{k/2}(k-1)!}{\int }_{M_f^0}\mathrm{div}\left(\frac{P_{n,k}(\mathrm{Hess}\left(f\right),\nabla f)}{\sqrt{f^{2(3k-2)}+{\parallel \nabla f\parallel }^{2(3k-2)}}}\nabla f\right){\mathrm{vol}}_n$$

pour $1\le k\le n$, où les $P_{n,k}$ sont des polynômes donnés dans l’article.

Ces formules incluent comme cas particuliers la caractéristique d’Euler–Poincaré des ensembles de sous-niveau et les volumes nodaux des fonctions définies sur des variétés riemanniennes. Elles peuvent donc être vues comme des généralisations de la formule de Kac–Rice.

Finalement, nous utilisons ces formules pour prouver la continuité de Lipschitz des volumes intrinsèques des ensembles de sous-niveau.

Détail

Reçu le : 2021-05-31
Accepté le : 2021-10-27
Publié le : 2024-05-16

DOI : 10.5802/afst.1758

Classification : 28A75, 49Q15
Keywords: intrinsic volume, curvature measure, Lipschitz–Killing curvature, Euler–Poincaré characteristic, sublevel set, excursion set, nodal set, nodal volume, Kac–Rice formula
Mots-clés : volume intrinsèque, mesure de courbure, courbure de Lipschitz–Killing, caractéristique d’Euler–Poincaré, ensemble de sous-niveau, ensemble d’excursion, ensemble nodal, volume nodal, formule de Kac–Rice

Licence : CC-BY 4.0

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