Correspondance de Langlands et facteurs $\epsilon$ des carrés extérieur et symétrique

Henniart, Guy¹

¹ Laboratoire de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud CNRS, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 32 (2023) no. 4, pp. 639-653

Résumé (VO)

Soit $p$ un nombre premier et $F$ une extension finie de ${\mathbb{Q}}_p$. Soit $n$ un entier $\ge 1$, $\pi$ une représentation lisse irréductible de ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$, et $\sigma$ la représentation de groupe de Weil–Deligne de $F$ associée à $\pi$ par la correspondance de Langlands. Cogdell, Shahidi et Tsai ont prouvé les égalités

$$\begin{array}{cc}\hfill \epsilon (\pi ,{\Lambda }^2,s,\psi & =({\Lambda }^2\sigma ,s,\psi )\hfill \\ \hfill \text{et}\epsilon (\pi ,{\mathrm{Sym}}^2,s,\psi )& =\epsilon ({\mathrm{Sym}}^2\sigma ,s,\psi ).\hfill \end{array}$$

pour tout caractère non trivial $\psi$ de $F$.

Nous donnons ici une preuve très différente de ces égalités, en reprenant les techniques d’un article précédent, qui les obtenait à une racine de l’unité près. Ce raffinement est permis par des résultats de Harris, Lan, Taylor, Thorne, et aussi Scholze, qui améliorent notre connaissance de la correspondance de Langlands pour ${\mathrm{GL}}_n$ sur un corps de nombres. Nous traitons aussi le cas des facteurs $\epsilon$ d’Asai, où nous prouvons par notre méthode l’égalité due à Shankman.

Abstract

Let $p$ be a prime number and $F$ a finite extension of ${\mathbb{Q}}_p$. Let $n$ be a positive integer, $\pi$ smooth irreducible representation of ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$, and $\sigma$ the Weil–Deligne representation associated to $\pi$ by the Langlands correspondence. Cogdell, Shahidi and Tsai have proved, for any non-trivial character $\psi$ of $F$, the equalities

$$\begin{array}{cc}\hfill \epsilon (\pi ,{\Lambda }^2,s,\psi & =({\Lambda }^2\sigma ,s,\psi )\hfill \\ \hfill \text{and}\epsilon (\pi ,{\mathrm{Sym}}^2,s,\psi )& =\epsilon ({\mathrm{Sym}}^2\sigma ,s,\psi ).\hfill \end{array}$$

Here we give a very different proof of those equalities, using the techniques of a previous paper where we proved them up to a root of unity. The refinement is now possible due to the results of Harris, Lan, Taylor, Thorne, and also Scholze, on the Langlands correspondence for ${\mathrm{GL}}_n$ over number fields. We also treat Asai $\epsilon$-factors, reproving an equality due to Shankman.

Détail

Reçu le : 2021-05-27
Accepté le : 2021-06-28
Publié le : 2023-11-13

DOI : 10.5802/afst.1748

Mots-clés : Corps $p$-adique, représentation lisse, correspondance de Langlands, facteurs $\varepsilon $
Keywords: $p$-adic field, smooth representation, Langlands correspondence, $\varepsilon $-factors

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