Intégration de Hecke de fonctions singulières

Clozel, Laurent¹

¹ Département de Mathématiques, Université Paris-Sud, Bâtiment 307, 91407 Orsay Cedex, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 32 (2023) no. 2, pp. 319-335

Résumé (VO)

Soit $Y$ une courbe modulaire, déduite d’un groupe de congruence de niveau $N$. On dispose sur $Y$ des correspondances de Hecke $T_n$ pour $(n,N)=1$. Si $z_1\in Y$, la suite de mesures $\overline{T_n}{z}_1={(deg{T}_n)}^{-1}\sum {\delta }_{z_i}$, où $T_n{z}_1$ est la somme (avec multiplicités) des $z_i$, tend faiblement (i.e., pour l’évaluation sur les fonctions $f\in C_c\left(Y\right)$) vers la mesure invariante normalisée sur $Y$. Dans cet article, on étend ce résultat à l’évaluation sur une fonction $f$ ayant une singularité logarithmique en un point. La conclusion ($f$ étant donnée) est alors vraie pour presque tout $z_1\in Y$. Les démonstrations font appel à la théorie de Sobolev, déjà utilisée dans ce contexte dans [5, §8].

Abstract

Consider a modular curve $Y$ associated to a congruence subgroup of level $N$. The Hecke correspondences $T_n$, for $(n,N)=1$, are defined on $Y$. For $z_1\in Y$, the sequence of measures $\overline{T_n}{z}_1={(deg{T}_n)}^{-1}\sum {\delta }_{z_i}$, $T_n{z}_1$ being the sum (with multiplicities) of the $z_i$, converges to the invariant normalised measure on $Y$ for the weak topology, viz., the evaluation against functions $f\in C_c\left(Y\right)$. Here this is extended to the evaluation against a function $f$ that has a logarithmic singularity at a given point. For $f$ given, the convergence is then achieved for almost all $z_1$. The proof relies on Sobolev theory, already used in this context in [5, §8].

Détail

Reçu le : 2020-09-29
Accepté le : 2021-05-10
Publié le : 2023-08-22

DOI : 10.5802/afst.1738

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