Generating sequences and semigroups of valuations on 2-dimensional normal local rings

Dutta, Arpan¹

¹ Department of Mathematics, IISER Mohali, Knowledge City, Sector 81, Manauli PO, SAS Nagar, Punjab, 140306 (India)

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 29 (2020) no. 3, pp. 619-647

Abstract (VO)

In this paper we develop a method for computing valuation semigroups for valuations dominating the ring of a two dimensional quotient singularity. Suppose that $K$ is an algebraically closed field of characteristic zero, $K[X,Y]$ is a polynomial ring over $K$ and $\nu$ is a rational rank 1 non discrete valuation of the field $K(X,Y)$ which dominates $K{[X,Y]}_{(X,Y)}$. Given a finite abelian group $H$ acting diagonally on $K[X,Y]$, and a generating sequence of $\nu$ in $K[X,Y]$ whose members are eigenfunctions for the action of $H$, we compute the semigroup $S^{K{[X,Y]}^H}\left(\nu \right)$ of values of elements of $K{[X,Y]}^H$. We further determine when $S^{K[X,Y]}\left(\nu \right)$ is a finitely generated $S^{K{[X,Y]}^H}\left(\nu \right)$-module.

Résumé

Dans cet article, nous développons une méthode de calcul de semigroupes d’évaluation pour les évaluations dominant l’anneau d’une singularité de quotient à deux dimensions. Supposons que $K$ est un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, $K[X,Y]$ est un anneau polynomial sur $K$ et $\nu$ est une évaluation rationnelle non discrète de rang 1 du corps $K(X,Y)$ qui domine $K{[X,Y]}_{(X,Y)}$. Étant donné un groupe $H$ abelien fini agissant en diagonale sur $K[X,Y]$ et une suite génératrice de $\nu$ dans $K[X,Y]$ dont les membres sont des fonctions propres pour l’action de $H$, nous calculons le semigroupe $S^{K{[X,Y]}^H}\left(\nu \right)$ de valeurs d’éléments de l’anneau invariant $K{[X,Y]}^H$. Nous déterminons en outre quand $S^{K[X,Y]}\left(\nu \right)$ est un $S^{K{[X,Y]}^H}\left(\nu \right)$-module de type fini.

Détail

Reçu le : 2018-05-10
Accepté le : 2018-11-04
Publié le : 2020-11-16

DOI : 10.5802/afst.1642

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