Quantum expanders and growth of group representations

Pisier, Gilles¹

¹ Texas A&M University, College Station, TX 77843, USA and Université Paris VI, Inst. Math. Jussieu, Équipe d’Analyse Fonctionnelle, Case 186, 75252 Paris Cedex 05, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 26 (2017) no. 2, pp. 451-462

Abstract (VO)

Let $\pi$ be a finite dimensional unitary representation of a group $G$ with a generating symmetric $n$-element set $S\subset G$. Fix $\epsilon >0$. Assume that the spectrum of ${\left|S\right|}^{-1}{\sum }_{s\in S}\pi \left(s\right)\otimes \overline{\pi \left(s\right)}$ is included in $[-1,1-\epsilon ]$ (so there is a spectral gap $\ge \epsilon$). Let $r_N^{\text{'}}\left(\pi \right)$ be the number of distinct irreducible representations of dimension $\le N$ that appear in $\pi$. Then let $R_{n,\epsilon }^{\text{'}}\left(N\right)=sup{r}_N^{\text{'}}\left(\pi \right)$ where the supremum runs over all $\pi$ with $n,\epsilon$ fixed. We prove that there are positive constants ${\delta }_{\epsilon }$ and $c_{\epsilon }$ such that, for all sufficiently large integer $n$ (i.e. $n\ge n_0$ with $n_0$ depending on $\epsilon$) and for all $N\ge 1$, we have $exp{\delta }_{\epsilon }n{N}^2\le R_{n,\epsilon }^{\text{'}}\left(N\right)\le exp{c}_{\epsilon }n{N}^2$. The same bounds hold if, in $r_N^{\text{'}}\left(\pi \right)$, we count only the number of distinct irreducible representations of dimension exactly $=N$.

Résumé

Soit $\pi$ une représentation unitaire de dimension finie d’un groupe $G$ munie d’un ensemble générateur symétrique $S\subset G$ à $n$-éléments. Fixons $\epsilon >0$ et supposons que le spectre de ${\left|S\right|}^{-1}{\sum }_{s\in S}\pi \left(s\right)\otimes \overline{\pi \left(s\right)}$ est inclus dans $[-1,1-\epsilon ]$ (il y a donc un trou spectral $\ge \epsilon$). Soit $r_N^{\text{'}}\left(\pi \right)$ le nombre de représentations irréductibles distinctes de dimension $\le N$ qui apparaissent dans la décomposition de $\pi$. Soit alors $R_{n,\epsilon }^{\text{'}}\left(N\right)=sup{r}_N^{\text{'}}\left(\pi \right)$ où le sup court sur toutes les $\pi$ possibles avec $n,\epsilon$ fixés. Nous démontrons l’existence de constantes positives ${\delta }_{\epsilon }$ et $c_{\epsilon }$ telles que, pour tout entier $n$ suffisamment grand (i.e. $n\ge n_0$ ou $n_0$ peut dépendre de $\epsilon$) et pour tout $N\ge 1$, on a $exp{\delta }_{\epsilon }n{N}^2\le R_{n,\epsilon }^{\text{'}}\left(N\right)\le exp{c}_{\epsilon }n{N}^2$. Les mêmes bornes sont valables si, dans $r_N^{\text{'}}\left(\pi \right)$, on compte seulement le nombre de représentations irréductibles distinctes de dimension exactement $=N$.

Détail

Publié le : 2017-04-13

DOI : 10.5802/afst.1541

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