Troisième groupe de cohomologie non ramifiée d'un solide cubique sur un corps de fonctions d'une variable

Colliot-Thélène, Jean-Louis ; Pirutka, Alena

Épijournal de Géométrie Algébrique, Tome 2 (2018)

Résumé

En combinant une méthode de C. Voisin avec la descente galoisienne sur le groupe de Chow en codimension $2$, nous montrons que le troisième groupe de cohomologie non ramifiée d'un solide cubique lisse défini sur le corps des fonctions d'une courbe complexe est nul. Ceci implique que la conjecture de Hodge entière pour les classes de degré 4 vaut pour les variétés projectives et lisses de dimension 4 fibrées en solides cubiques au-dessus d'une courbe, sans restriction sur les fibres singulières. ————— We prove that the third unramified cohomology group of a smooth cubic threefold over the function field of a complex curve vanishes. For this, we combine a method of C. Voisin with Galois descent on the codimension $2$ Chow group. As a corollary, we show that the integral Hodge conjecture holds for degree $4$ classes on smooth projective fourfolds equipped with a fibration over a curve, the generic fibre of which is a smooth cubic threefold, with arbitrary singularities on the special fibres.

Détail

DOI : 10.46298/epiga.2018.volume2.3950