Les applications conforme-harmoniques

Bérard, Vincent

Canadian journal of mathematics, Tome 65 (2013) no. 2, pp. 266-298

Résumé

Sur une surface de Riemann, l'énergie d'une application à valeurs dans une variété riemannienne est une fonctionnelle invariante conforme, ses points critiques sont les applications harmoniques. Nous proposons ici un analogue en dimension supérieure, en construisant une fonctionnelle invariante conforme pour les applications entre deux variétés riemanniennes, dont la variété de départ est de dimension $n$ paire. Ses points critiques satisfont une EDP elliptique d'ordre $n$ non-linéaire qui est covariante conforme par rapport à la variété de départ, on les appelle les applications conformeharmoniques. Dans le cas des fonctions, on retrouve l'opérateur GJMS, dont le terme principal est une puissance $n/2$ du laplacien. Quand $n$ est impaire, les mêmes idées permettent de montrer que le terme constant dans le développement asymptotique de l'énergie d'une application asymptotiquement harmonique sur une variété $\text{AHE}$ est indépendant du choix du représentant de l'infini conforme.

Détail

DOI : 10.4153/CJM-2012-034-8

Mots-clés : 53C21, 53C43, 53A30, géométrie riemannienne, applications harmoniques, applications conforme-harmoniques, géométrie conforme, analyse non-linéaire, énergie renormalisée, opérateur de Paneitz

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