Petits points d’une surface

Pontreau, Corentin

Canadian journal of mathematics, Tome 61 (2009) no. 5, pp. 1118-1150

Résumé

Pour toute sous-vari ét é géométriquement irréductible $V$ du groupe multiplicatif $\mathbb{G}_{m}^{n}$ , on sait qu’en dehors d’un nombre fini de translat és de tores exceptionnels inclus dans $V$ , tous les points sont de hauteur minorée par une certaine quantité $q{{(V)}^{-1}}>0$ . On connaît de plus une borne supérieure pour la somme des degrés de ces translatés de tores pour des valeurs de $q(V)$ polynomiales en le degré de $V$ . Ceci n’est pas le cas si l’on exige une minoration quasi-optimale pour la hauteur des points de $V$ , essentiellement linéaire en l’inverse du degré.Nous apportons ici une réponse partielle à ce problème : nous donnons une majoration de la somme des degrés de ces translat és de sous-tores de codimension 1 d’une hypersurface $V$ . Les résultats, obtenus dans le cas de $\mathbb{G}_{m}^{3}$ ,mais complètement explicites, peuvent toutefois s’étendre à $\mathbb{G}_{m}^{n}$ ,moyennant quelques petites complications inhérentes à la dimension $n$ .

Détail

DOI : 10.4153/CJM-2009-053-x

Mots-clés : 11G50, 11J81, 11G40, Hauteur normalisée, groupe multiplicatif, problème de Lehmer, petits points

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