Geodesic
Division par un polynôme hyperbolique
Canadian journal of mathematics, Tome 56 (2004) no. 6, pp. 1121-1144

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On se donne un intervalle ouvert non vide $\omega $ de $\mathbb{R}$ , un ouvert connexe non vide $\Omega $ de ${{\mathbb{R}}_{5}}$ et unpolynôme unitaire $${{P}_{m}}\left( z,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)={{z}^{m}}+{{a}_{1}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right){{z}^{m-1}}=+\cdot \cdot \cdot +{{a}_{m-1}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)z+{{a}_{m}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)$$ de degré $m>0$ , dépendant du paramètre $\lambda \in \Omega $ . Un tel polynôme est dit $\omega $ -hyperbolique si, pour tout $\lambda \in \Omega $ , ses racines sont réelles et appartiennent à $\omega $ .On suppose que les fonctions ${{a}_{k}},k=1,\cdot \cdot \cdot ,m$ , appartiennent à une classe ultradifférentiable ${{C}_{M}}\left( \Omega\right)$ . On s‘intéresse au problème suivant. Soit $f$ appartient à ${{C}_{M}}\left( \Omega\right)$ , existe-t-il des fonctions ${{Q}_{f}}$ et ${{R}_{f,k}},k=0,\cdot \cdot \cdot ,m-1$ , appartenant respectivement à ${{C}_{M}}\left( \omega \,\times \,\Omega\right)$ et à ${{C}_{M}}\left( \Omega\right)$ , telles que l’on ait, pour $\left( x,\,\lambda\right)\,\in \,\omega \,\times \,\Omega$ , $$f\left( x \right)={{P}_{m}}\left( x,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right){{Q}_{f}}\left( x,\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)+\sum\limits_{k=0}^{m-1}{{{x}^{k}}{{R}_{f,k}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right)?}$$ On donne ici une réponse positive dès que le polynôme est $\omega$ -hyperbolique, que la class untradifférentiable soit quasi-analytique ou non ; on obtient alors, des exemples d’idéaux fermés dans ${{C}_{M}}\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right)$ . On complète ce travail par une généralisation d’un résultat de C. L. Childress dans le cadre quasi-analytique et quelques remarques.
DOI : 10.4153/CJM-2004-050-1
Mots-clés : 26E10, 46E25, 46J20 
Chaumatet, Jacques; Chollet, Anne-Marie. Division par un polynôme hyperbolique. Canadian journal of mathematics, Tome 56 (2004) no. 6, pp. 1121-1144. doi: 10.4153/CJM-2004-050-1
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