Convexité, complête monotonie et inégalités sur les fonctions zêta et gamma, sur les fonctions des opérateurs de Baskakov et sur des fonctions arithmétiques

Bastien, G. ; Rogalski, M.

Canadian journal of mathematics, Tome 54 (2002) no. 5, pp. 916-944

Résumé

Nous prouvons un encadrement optimal pour la quantité $H\left( x,\,s \right)\,=\,\sum{_{n\ge 1}\,\frac{1}{{{\left( x+n \right)}^{s}}}}$ pour $x\,\ge \,0$ et $s\,>\,1$ , qui améliore l'encadrement standard par des intégrales. Cet encadrement entraîne des inégalités sur la fonction $\zeta $ de Riemann, et amène à conjecturer la monotonie de la fonction $s\,\mapsto \,{{[(s\,-\,1)\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ (}s\text{)}]}^{\frac{1}{S-1}}}$ . On donne des applications à l'étude de la convexité de fonctions liées à la fonction $\Gamma $ d'Euler et à la majoration optimale des fonctions élémentaires intervenant dans les opérateurs de Baskakov. Puis, nous étendons aux fonctions complètement monotones sur ] $0,\,+\infty $ [ les résultats établis pour la fonction $x\,\mapsto \,{{x}^{-s}}$ , et nous en déduisons des preuves élémentaires du comportement, quand $z$ tend vers 1, des séries génératrices de certaines fonctions arithmétiques. Enfin, nous prouvons qu'une partie du résultat se généralise à une classe de fonctions convexes positives décroissantes.

Détail

DOI : 10.4153/CJM-2002-034-7

Mots-clés : 26A51, 26D15, arithmetical functions, Baskakov's operators, completely monotonic functions, convex functions, inequalities, gamma function, zeta function

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