Intégrales orbitales pondérées sur les algèbres de Lie : le cas p-adique

Chaudouard, Pierre-Henri

Canadian journal of mathematics, Tome 54 (2002) no. 2, pp. 263-302

Résumé

Soit $G$ un groupe réductif connexe défini sur un corps $p$ -adique $F$ et $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. Les intégrales orbitales pondérées sur $\mathfrak{g}\left( F \right)$ sont des distributions ${{J}_{M}}\left( X,\,f \right)-f$ est une fonction test—indexées par les sous-groupes de Lévi $M$ de $G$ et les éléments semi-simples réguliers $X\,\in \,\mathfrak{m}\left( F \right)\,\cap \,{{\mathfrak{g}}_{\text{reg}}}$ . Leurs analogues sur $G$ sont les principales composantes du côté géométrique des formules des traces locale et globale d’Arthur.Si $M=G$ , on retrouve les intégrales orbitales invariantes qui, vues comme fonction de $X$ , sont borńees sur $\mathfrak{m}\left( F \right)\,\cap \,{{\mathfrak{g}}_{\text{reg}}}$ : c’est un résultat bien connu de Harish-Chandra. Si $M\subsetneq G$ , les intégrales orbitales pondérées explosent au voisinage des éléments singuliers. Nous construisons dans cet article de nouvelles intégrales orbitales pondérées $J_{M}^{b}\left( X,f \right)$ , égales à ${{J}_{M}}\left( X,f \right)$ à un terme correctif près, qui tout en conservant les principales propriétés des précédentes (comportement par conjugaison, développement en germes, etc.) restent borńees quand $X$ parcourt $\mathfrak{m}\left( F \right)\,\cap \,{{\mathfrak{g}}_{\text{reg}}}$ . Nous montrons également que les intégrales orbitales pondérées globales, associées à des éléments semi-simples réguliers, se décomposent en produits de ces nouvelles intégrales locales.

Détail

DOI : 10.4153/CJM-2002-009-6

Mots-clés : 22E35, 11F70

Bibliographie

[1] [1] Arthur, J., A trace formula for reductive groups I. Duke Math. J. 45 (1978), 911–952. Google Scholar

[2] [2] Arthur, J., The trace formula in invariant form. Ann. of Math. 114 (1981), 1–74. Google Scholar

[3] [3] Arthur, J., On a family of distributions obtained from Eisenstein series II: Explicit formulas. Amer. J. Math. 104 (1982), 1289–1336. Google Scholar

[4] [4] Arthur, J., On a family of distributions obtained from orbits. Canad. J. Math. (1) 38 (1986), 179–214. Google Scholar

[5] [5] Arthur, J., The invariant trace formula I. Local theory. J. Amer. Math. Soc. (2) 1 (1988), 323–383. Google Scholar

[6] [6] Arthur, J., The local behaviour of weighted orbital integrals. Duke Math. J. 56 (1988), 233–293. Google Scholar

[7] [7] Arthur, J., A local trace formula. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 73 (1991), 5–96. Google Scholar

[8] [8] Chaudouard, P.-H., La formule des traces pour les algèbres de Lie. Math. Ann., à paraître. Google Scholar

[9] [9] Springer, T. A. and Steinberg, R., Conjugacy classes. In: Robert Steinberg, collected papers, with foreword by J.-P. Serre, Amer. Math. Soc., 1997, 293–394. Google Scholar

[10] [10] Harish-Chandra, , Harmonic analysis on reductive p-adic groups. Notes by G. van Dijk, Lecture Notes in Math. 162, Springer, 1970. Google Scholar

[11] [11] Harish-Chandra, , Admissible invariant distributions on reductive p-adic groups. In: Collected papers IV, Springer-Verlag, 371–437, 1984. Google Scholar

[12] [12] Rao, R., Orbital integrals on reductive groups. Ann. of Math. 96 (1972), 505–510. Google Scholar

[13] [13] Shalika, J. A., A theorem on semi-simple p-adic groups. Ann. of Math. 95 (1972), 226–242. Google Scholar

[14] [14] Varadarajan, V. S., Harmonic analysis on real reductive groups. Lecture Notes in Math. 576, Springer, 1977. Google Scholar

[15] [15] Varadarajan, V. S., Lie groups, Lie algebras and their representations. Springer, 1984. Google Scholar

[16] [16] Waldspurger, J.-L., Une formule des traces locale pour les algèbres de Lie p-adiques. J. Reine Angew. Math. 465 (1995), 41–99. Google Scholar