De Lambert à Cauchy : la résolution des équations littérales par le moyen des séries

Lubet, Jean-Pierre

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 4 (1998) no. 1, pp. 73-129

Résumé (VO)

En 1770, Lagrange démontre la formule qui porte son nom et qui donne, sous forme de série, l'expression de la racine d'une équation algébrique ou transcendante. La formule elle-même et la méthode de démonstration sont significatives du style et de la pensée de l'auteur de la Théorie des fonctions analytiques. De nombreuses études sont consacrées ensuite à ce théorème de Lagrange par d'autres mathématiciens. Elles portent la trace de préoccupations ou d'exigences particulières à leurs auteurs. Elles accompagnent parfois des tentatives théoriques plus ambitieuses. Laplace étudie la convergence des séries que le théorème de Lagrange permet d'obtenir pour la résolution du problème de Kepler. Mais ces travaux restent d'abord tributaires des mêmes conceptions, selon lesquelles les fonctions sont identifiées à des développements en séries formelles. Cauchy remet en cause ce point de vue, et c'est un bouleversement profond qui intervient en 1831 lorsqu'il reprend le problème avec les moyens dont il dispose dans le cadre des fonctions de variable imaginaire.

Abstract

In 1770, Lagrange proved the formula bearing his name which expresses the root of an algebraic or transcendental equation as a series. The formula in itself, as well as the method of proof, are representative of the style and thought of the author of the Théorie des fonctions analytiques. Afterwards several studies were devoted to Lagrange's theorem by other mathematicians. They bore the mark of their authors' particular concerns or demands. Occasionally they conveyed more ambitious theoretical attempts. When solving Kepler's problem, Laplace studied the convergence of the series deduced from Lagrange's theorem. But, at first, these studies depended on the same conceptions, according to which functions were identified with formal series expansions. In 1831 a profound mutation occured when, calling this point of view into question, Cauchy took up the problem and deployed the tools he had at his disposal in the framework of complex functions.

Détail

DOI : 10.24033/rhm.69