17th century arguments for the impossibility of the indefinite and the definite circle quadrature

[Arguments du xvii^e siècle en faveur de l'impossibilité des quadratures du cercle indéfinie et définie]

Lützen, Jesper

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 20 (2014) no. 2, pp. 211-251

Abstract (VO)

The classical problem of the quadrature (or equivalently the rectification) of the circle enjoyed a renaissance in the second half of the 17th century. The new analytic methods provided the means for the discovery of infinite expressions of π and for the first attempts to prove impossibility statements related to the quadrature of the circle. In this paper the impossibility arguments put forward by Wallis, Gregory, Leibniz and Newton are analyzed and the controversies they gave rise to are discussed. They all deal with the impossibility of finding an algebraic expression of the area of a sector of a circle in terms of its radius and cord, or of the area of the entire circle. It is argued that the controversies were partly due to a lack of precision in the formulation of the results. The impossibility results were all part of a constructive problem solving mathematical enterprise. They were intended to show that certain solutions of the quadrature problem were the best possible because simpler (analytic) solutions were impossible.

Résumé

Le problème classique de la quadrature (ou de la rectification) du cercle a connu un regain d'intérêt pendant la deuxième moitié du xvii^e siècle. Les nouvelles méthodes analytiques ont permis la découverte d'expressions infinies du nombre π et ont ouvert la voie vers les premières tentatives de démonstration d'assertions d'impossibilité concernant la quadrature du cercle. Dans cet article les arguments d'impossibilité de Wallis, Gregory, Leibniz et Newton sont analysés et les controverses qu'ils ont causées sont discutées. Tous les arguments concernent l'impossibilité de trouver une expression algébrique de l'aire d'un secteur d'un cercle en termes de son rayon et de sa corde ou de l'aire du cercle entier. Les controverses sont en partie dues à l'imprécision de la formulation des résultats. Les résultats d'impossibilité sont tous issus d'une entreprise mathématique constructive. Leur but était de démontrer qu'une certaine solution de la quadrature du cercle est la meilleure possible parce que des solutions plus simples (analytiques) sont impossibles.

Détail

Publié le : 2014-09-04
DOI : 10.24033/rhm.182

Classification : 01A45, 12, 03, 51M04, 51M15
Keywords: 17th century, history of mathematics, quadrature of the circle, pi, impossibility, transcendental functions, Wallis, Gregory, Leibniz, Newton.
Mots-clés : xvii ^e siècle, histoire des mathématiques, quadrature du cercle, pi, impossibilité, fonctions transcendentales, Wallis, Gregory, Leibniz, Newton.