Geodesic
Small time equivalents for the density of a planar quadratic Langevin diffusion
[Equivalents en temps petit pour la densité d’une diffusion de Langevin quadratique plane]
Franchi, Jacques1
1 IRMA, Université de Strasbourg et CNRS, 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg, France
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 4, pp. 545-606

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Exact small time equivalents for the density of the (heat kernel) semi-group, with a control of the error term, are obtained for a quadratic planar analogue of the Langevin diffusion, which is strictly hypoelliptic and non-Gaussian, and hence of a different nature from the known Riemannian, sub-Riemannian and linear-Gaussian cases. Two regimes are considered, an unscaled and a scaled one, where both can be seen as natural extensions beyond the degenerate Langevin-Gaussian framework. The result for the scaled regime seems to be the first such one in a non-Gaussian strictly hypoelliptic framework. The method is half-probabilistic, half-analytic.

Cet article fournit des équivalents exacts en temps petit, avec contrôle du terme d’erreur, relatifs à la densité (noyau de la chaleur) du semi-groupe associé à une diffusion quadratique plane, analogue non gaussien de la diffusion de Langevin. Dans ce cadre strictement hypoelliptique non gaussien, différent des cadres sous-riemannien et gaussien (linéaire), le régime de base et un régime rééchelonné sont considérés, qui sont tous deux des prolongements naturels du cas dégénéré Langevin-gaussien. L’étude du régime rééchelonné semble la première de ce type dans un tel cadre. La méthode suivie est mi-probabiliste mi-analytique, pour les deux régimes.

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DOI : 10.24033/bsmf.2792
Classification : 58J65, 35K65, 60H07, 35K05, 60J65
Keywords: Strictly hypoelliptic diffusion, Strictly hypoelliptic heat kernel, Small time asymptotics, Brownian motion, oscillatory integral, Saddle-point method, Carnot-Carathéodory distance
Mots-clés : Diffusion strictement hypoelliptique, Noyau de la chaleur strictement hypoélliptique, Asymptotique en temps petit, Mouvement brownien, Intégrale oscillante, Méthode du point-selle, Distance de Carnot-Carathéodory

Franchi, Jacques 1

1 IRMA, Université de Strasbourg et CNRS, 7 rue René Descartes, 67084 Strasbourg, France 
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JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
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Franchi, Jacques. Small time equivalents for the density of a planar quadratic Langevin diffusion. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 4, pp. 545-606. doi: 10.24033/bsmf.2792

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