Voir la notice de l'article provenant de la source Numdam
We prove some basic results for a dynamical system given by a piecewise linear and contractive map on the unit interval that takes two possible values at a point of discontinuity. We prove that there exists a universal limit cycle in the non-exceptional cases, and that the exceptional parameter set is very tiny in terms of gauge functions. The exceptional two-dimensional parameter is shown to have Hausdorff-dimension one. We also study the invariant sets and the limit sets; these are sometimes different and there are several cases to consider. In addition, we prove the existence of a unique invariant measure. We apply some of our results for the dynamical system, involving a study of rational and irrational rotation numbers, to a combinatorial problem involving an election method suggested by Phragmén, and we show that the proportion of elected seats for each party converges to a limit, which is a rational number except for a very small exceptional set of parameters.
Nous étudions quelques propriétés de base d’un système dynamique défini par une transformation de l’intervalle [0,1] linéaire par morceaux, contractante et à deux valeurs possibles en un point de discontinuité. Nous montrons l’existence d’un cycle limite universel à l’exception d’un ensemble de valeurs des paramètres très petit en terme de fonction de jauge. Pour le paramètre bidimensionnel, l’ensemble exceptionnel est de dimension de Hausdorff 1. Nous étudions également le ensemble invariants et le ensemble limite pour le système dynamique. Ces ensembles peuvent être différents et plusieurs cas sont à considérer. L’existence d’une unique mesure invariante est établie.
Les résultats sur le nombre de rotation (rationnel ou irrationnel) du système dynamique sont appliqués à un problème combinatoire lié à un mode de scrutin électoral proposé par Phragmén. Nous montrons que la proportion des sièges d’élus de chaque parti converge vers une limite qui, est un nombre rationnel sauf pour un très petit ensemble de valeurs exceptionnelles des paramètres.
Janson, Svante 1 ; Öberg, Anders 1
@article{BSMF_2019__147_3_395_0,
author = {Janson, Svante and \"Oberg, Anders},
title = {A piecewise contractive dynamical system and {Phragm\'en{\textquoteright}s} election method},
journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
pages = {395--441},
publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
volume = {147},
number = {3},
year = {2019},
doi = {10.24033/bsmf.2787},
mrnumber = {4030545},
zbl = {1435.37059},
language = {en},
url = {http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/bsmf.2787/}
}
TY - JOUR AU - Janson, Svante AU - Öberg, Anders TI - A piecewise contractive dynamical system and Phragmén’s election method JO - Bulletin de la Société Mathématique de France PY - 2019 SP - 395 EP - 441 VL - 147 IS - 3 PB - Société mathématique de France UR - http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/bsmf.2787/ DO - 10.24033/bsmf.2787 LA - en ID - BSMF_2019__147_3_395_0 ER -
%0 Journal Article %A Janson, Svante %A Öberg, Anders %T A piecewise contractive dynamical system and Phragmén’s election method %J Bulletin de la Société Mathématique de France %D 2019 %P 395-441 %V 147 %N 3 %I Société mathématique de France %U http://geodesic.mathdoc.fr/articles/10.24033/bsmf.2787/ %R 10.24033/bsmf.2787 %G en %F BSMF_2019__147_3_395_0
Janson, Svante; Öberg, Anders. A piecewise contractive dynamical system and Phragmén’s election method. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 3, pp. 395-441. doi: 10.24033/bsmf.2787
Cité par Sources :