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We explain the Curie-Weiss model in statistical mechanics within an ergodic viewpoint. More precisely, we simultaneously define in , on the one hand a generalized Curie-Weiss model within the statistical mechanics viewpoint and on the other hand, the quadratic free energy and quadratic pressure within the ergodic theory viewpoint. We show that there are finitely many invariant measures that maximize the quadratic free energy. They are all dynamical Gibbs measures. Moreover, the probabilistic Gibbs measures for the generalized Curie-Weiss model converge to a determined combination of the (dynamical) conformal measures associated with these dynamical Gibbs measures. The standard Curie-Weiss model is a particular case of our generalized Curie-Weiss model. An ergodic viewpoint over the Curie-Weiss-Potts model is also given.
On explique ici un modèle généralisé de Curie-Weiss (champ moyen) en utilisant le vocabulaire de la théorie ergodique. On introduit le concept de pression quadratique en théorie ergodique et on montre que pour tout potentiel Hölder dans le sous-shift unilatère , il n’y a qu’un nombre fini de mesures invariantes qui maximisent la pression quadratique et, que ce sont toutes des mesures d’équilibre pour un multiple du potentiel. On montre que la limite thermodynamique des mesures de Gibbs associées à l’Hamiltonien en champ moyen convergent vers une combinaison des mesures conformes associées à chaque mesure qui maximise la pression quadratique. Le cas standard de Curie-Weiss s’obtient pour un exemple particulier de potentiel. Enfin, le modèle de Curie-Weiss-Potts est également expliqué avec le vocabulaire de la théorie ergodique.
Leplaideur, Renaud 1, 2 ; Watbled, Frédérique 3
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Leplaideur, Renaud; Watbled, Frédérique. Generalized Curie-Weiss model and quadratic pressure in ergodic theory. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 2, pp. 197-219. doi: 10.24033/bsmf.2779
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