Geodesic
Detecting trivial elements of periodic groups
[Un critère pour détecter les éléments triviaux dans un quotient périodique d’un groupe hyperbolique]
Coulon, Rémi1
1 Univ Rennes, CNRS, IRMAR – UMR 6625, F-35000 Rennes, France
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 146 (2018) no. 4, pp. 745-806

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In this article we give a sufficient and necessary condition to determine whether an element of the free group induces a nontrivial element of the free Burnside group of sufficiently large odd exponents. Although this result is “well known” among specialists, it has never been stated with such a level of simplicity. Moreover, our proof highlights some important differences between the Delzant-Gromov approach to the Burnside problems and others that exist. This criterion can be stated without any knowledge regarding Burnside groups, in particular about the proof of its infiniteness. Therefore, it also provides a useful tool to study outer automorphisms of Burnside groups. In addition, we state an analogue result for periodic quotients of torsion-free hyperbolic groups.

Dans cet article, on propose une condition nécessaire et suffisante pour déterminer si un élément du groupe libre induit ou non un élément trivial dans les groupes de Burnside libre d’exposants impairs suffisamment grands. Bien que ce résultat soit « bien connu » des spécialistes, il n’a jamais été énoncé avec un tel niveau de simplicité. En outre la preuve met en lumière les principales différences entres l’approche de Delzant-Gromov du problème de Burnside et les autres existants dans la littérature. Ce critère peut être énoncé sans aucun pré-requis sur les groupes de Burnside. En particulier il n’est pas nécessaire de comprendre pourquoi les groupes de Burnside sont infinis pour l’appliquer. Pour cette raison il fournit un outil effectif qui nous permettra plus tard d’étudier les automorphismes du groupe de Burnside. Nous donnons aussi un résultat analogue pour les quotients périodiques d’un groupe hyperbolique sans torsion.

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DOI : 10.24033/bsmf.2772
Classification : 20F65, 20F50, 20F67, 20F06
Keywords: Geometric group theory, Burnside groups, periodic quotient of hyperbolic groups, word problem, small cancellation theory
Mots-clés : Théorie géométrique des groupes, groupes de Burnside, quotient périodique de groupes hyperboliques, problème du mot, théorie de la petite simplification

Coulon, Rémi 1

1 Univ Rennes, CNRS, IRMAR – UMR 6625, F-35000 Rennes, France 
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Coulon, Rémi. Detecting trivial elements of periodic groups. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 146 (2018) no. 4, pp. 745-806. doi: 10.24033/bsmf.2772

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