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It is well known that instabilities of nearly integrable Hamiltonian systems occur around resonances. Dynamics near resonances of these systems is well approximated by the associated averaged system, called slow system. Each resonance is defined by a basis (a collection of integer vectors). We introduce a class of resonances whose basis can be divided into two well separated groups and call them dominant. We prove that the associated slow system can be well approximated by a subsystem given by one of the groups, both in the sense of the vector field and weak KAM theory. As a corollary, we obtain perturbation results on normally hyperbolic invariant cylinders, and the Aubry/Mañe sets. This has applications in Arnold diffusion in arbitrary degrees of freedom.
Il est bien connu que les instabilités des systèmes hamiltoniens presque intégrables interviennent au voisinage des résonances. La dynamique de ces systèmes près des résonances est bien approchée par les systèmes moyennés associés, appelés systèmes lents. Chaque résonance est définie par une base (une collection de vecteurs entiers). Nous introduisons une classe de résonances dont la base peut être divisée en deux groupes bien distincts, que nous appelons dominantes. Nous prouvons que le système lent associé peut être bien approché par un sous-système donné par l’un de ces deux groupes, à la fois comme champ de vecteurs et au sens de la théorie KAM faible. Comme corollaire, nous obtenons des résultats perturbatifs sur des cylindres invariants normalement hyperboliques, et sur les ensembles d’Aubry/Mañé. Cela a des applications en diffusion d’Arnold pour un nombre arbitraire de degrés de liberté.
Kaloshin, Vadim 1 ; Zhang, Ke 2
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Kaloshin, Vadim; Zhang, Ke. Dynamics of the dominant Hamiltonian. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 146 (2018) no. 3, pp. 517-574. doi: 10.24033/bsmf.2765
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