Weak mixing properties of interval exchange transformations & translation flows

[Propriétés de mélange faible des échanges d’intervalles et des flots de translation]

Avila, Artur¹ ; Leguil, Martin²

¹ Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche, CNRS UMR 7586, Université Paris Diderot, Sorbonne Paris Cité Sorbonnes Universités, UPMC Université Paris 06, F-75013, Paris, France & IMPA, Estrada Dona Castorina 110, 22460-320, Rio de Janeiro, Brazil.
² Université Paris Diderot, Sorbonne Paris Cité, Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche, UMR 7586, CNRS, Sorbonne Universités, UPMC Université Paris 06, F-75013 Paris, France & Department of Mathematics, University of Toronto, 40 St George St. Toronto, M5S 2E4, ON, Canada.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 146 (2018) no. 2, pp. 391-426

Abstract (VO)

Let d>1. In this paper we show that for an irreducible permutation π which is not a rotation, the set of [λ]∈ℙ+d-1 such that the interval exchange transformation f([λ],π) is not weakly mixing does not have full Hausdorff dimension. We also obtain an analogous statement for translation flows. In particular, it strengthens the result of almost sure weak mixing proved by G. Forni and the first author in [2]. We adapt here the probabilistic argument developed in their paper in order to get some large deviation results. We then show how the latter can be converted into estimates on the Hausdorff dimension of the set of “bad” parameters in the context of fast decaying cocycles, following the strategy of [1].

Résumé

Soit d>1. Dans le présent article, nous montrons que pour une permutation irréductible π différente d’une rotation, l’ensemble des paramètres de longueur [λ]∈ℙ+d-1 tels que l’échange d’intervalles f([λ],π) n’est pas faiblement mélangeant n’a pas dimension de Hausdorff totale. Nous obtenons également un énoncé similaire dans le cas des flots de translation. En particulier, cela améliore le résultat de [2] dans lequel G. Forni et le premier auteur montrent que la propriété de mélange faible est satisfaite pour presque tout paramètre de longueur. Nous adaptons ici l’argument probabiliste développé dans leur article afin de prouver un résultat de grandes déviations. Nous montrons ensuite que ce dernier peut être employé pour obtenir des estimées sur la dimension de Hausdorff de l’ensemble des « mauvais » paramètres dans le contexte des cocycles à décroissance rapide, en suivant la stratégie mise au point dans [1].

Détail

Reçu le : 2016-05-10
Révisé le : 2016-09-22
Accepté le : 2017-02-06
Publié le : 2018-09-04
DOI : 10.24033/bsmf.2761

Classification : 37A05, 37A25, 37E35
Keywords: Échanges d’intervalles, surfaces de translation, flots de translation, mélange faible, unique ergodicité / Interval exchange transformations, translation surfaces, translation flows, weak mixing, unique ergodicity.